Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 6 parties autour de la classification des endomorphismes nilpotents et leur application. Partie I : préliminaires (algèbre des polynômes, idéaux, séries de Laurent). Parties II-IV : démonstration qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs de Jordan. Partie V : version « graduée » — décomposition V=V₁⊕…⊕V_n avec u(V_i)⊂V_{i+1} et endomorphisme h diagonalisable de la forme h^n=id. Partie VI : application — classification des couples…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Préliminaires (polynômes, idéaux, séries de Laurent)(Q1-Q2)Niveau attendu
Q1 souvent ratée — raisonnements erronés sur le polynôme minimal de h. Q2abc bien traitées. Manipulation rigoureuse de l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme.
- Partie II — Partie 2 — Itérés et noyaux d'un endomorphisme nilpotent(Q3-Q5)Niveau attendu
Étude des itérés d'un endomorphisme ξ. Q3a-Q5 : pas de difficulté majeure mais rédaction rigoureuse attendue.
- Partie III — Partie 3 — Existence d'une décomposition en blocs de Jordan(Q6-Q7)Difficile
Construction d'un supplémentaire stable, idéal engendré par le polynôme minimal. Q6e crucial : voir que P doit appartenir à l'idéal introduit. Q6f rarement abordée.
- Partie IV — Partie 4 — Unicité via invariants (dimensions des noyaux des itérés)(Q8-Q10)Difficile
Unicité de la décomposition à l'aide d'invariants : dimensions des noyaux des itérés successifs. Récurrence rigoureuse attendue.
- Partie V — Partie 5 — Version graduée du théorème(Q11-Q13)Très difficile
V=V₁⊕…⊕V_n avec u(V_i)⊂V_{i+1}, h diagonalisable vérifiant h^n=id et relation avec u. Construction de la décomposition par récurrence avec supplémentaire stable simultanément par u et h. Q13b traitée par peu de candidats par manque de temps.
- Partie VI — Partie 6 — Classification de couples d'applications linéaires et matrices rectangulaires(Q14-Q19)Très difficile
Application 1 : classification des u:V=V₁⊕V₂⊕V₃ avec u(V₁)⊂V₂, u(V₂)⊂V₃, u(V₃)=0 — 6 blocs élémentaires. Application 2 : couples (u:V→W, v:W→V) à équivalence simultanée près, ramenés au cas inversible puis nilpotent. Quasiment jamais traitée à l'exception d'une ou deux questions faciles.
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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