Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.18
Médiane
8.2
Écart-type
3.56
Q1 (25%)
5.8
Q3 (75%)
10.6
Candidats présents
1 420
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 5 parties non complètement indépendantes (mais traitables séparément en admettant les résultats précédents) autour des perturbations de rang 1 de matrices et de leur effet sur le spectre. Partie probabiliste en partie 4 sur les perturbations aléatoires.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Écriture d'une matrice de rang 1 sous forme de produit(Q1-Q6)Niveau attendu
Caractérisation K = uvᵀ, théorème du rang, identification explicite des vecteurs u et v. Bien rédiger la non-nullité des vecteurs.
- Partie II — Inversibilité de la perturbation A + uvᵀ(Q7-Q12)Difficile
Calcul par blocs (mais attention : un déterminant ne se calcule pas par blocs sans précautions, il faut soit triangulariser soit développer selon une ligne). Contre-exemple en dimension > 2.
- Partie III — Spectre de la perturbation symétrique(Q13-Q19)Difficile
Théorème spectral, propriétés de B = A + uvᵀ symétrique, formule de Grassman pour Q16a, entrelacement des valeurs propres. Partie longue et technique, discriminante.
- Partie IV — Spectre des matrices symétriques perturbées aléatoirement(Q20-Q23)Très difficile
Probabilités : espérance via formule de transfert, polynôme caractéristique aléatoire, inégalités de Tchebychev. Partie inégalement traitée.
- Partie V — Cas de matrices avec valeurs propres nulles(Q24-Q27)Très difficile
Synthèse des résultats précédents avec hypothèse modifiée. Partie courte et finalement abordable lorsque les notations sont assimilées.
Analyse globale du jury
« Globalement, toutes les parties ont été abordées par les candidats puisque le début de chacune d'entre elles était accessible en admettant les résultats des parties précédentes. La difficulté était alors de pouvoir avancer aussi loin que possible dans chaque partie. Les parties 1 et 2 ont en général été traitées convenablement. La partie 3, plus longue et plus technique, a été discriminante pour beaucoup. La partie 4, qui traitait des perturbations aléatoires, a été plus inégalement traitée — certains bons candidats ont préféré ne pas l'aborder, faute peut-être de connaissances suffisantes en probabilités. La rédaction a souvent été imprécise, incomplète ou même erronée dans certaines questions, y compris des questions relativement simples. »
Top pièges sanctionnés
Calcul d'un déterminant par blocs sans précautions (Q8)-2 pts
« Question très mal traitée par les candidats. Rappelons en effet que le déterminant ne se calcule généralement pas par blocs. Il fallait absolument préciser que les matrices étaient triangulaires ou utiliser un développement selon les lignes ou les colonnes pour justifier le calcul. »
Démonstration par équivalents floue (Q5c)-2 pts
« Cette question a été inégalement traitée. En effet, raisonner par équivalent était très difficile et il était beaucoup plus simple de procéder à la démonstration de chaque implication séparément. L'erreur la plus courante a été une mauvaise connaissance du théorème de diagonalisation. »
Confusion somme de sous-espaces vs union (Q16a)-1 pts
« Question classique qui se fait par la formule de Grassman. Dans l'application de cette formule, on remarque qu'un nombre non négligeable de candidats confond la somme de deux sous-espaces vectoriels avec leur union. »
Inégalité de Markov utilisée à la place de Tchebychev (Q21d)-2 pts
« Cette question n'a pas posé de problème lorsqu'on utilise correctement la question 21c) et l'inégalité de Tchebychev (et non l'inégalité de Markov qui ne permet pas facilement d'obtenir le résultat demandé). »
Résultats utilisés sans mention explicite des questions précédentes-2 pts
« L'utilisation des questions précédentes nécessite de les mentionner explicitement et précisément pour être valorisée. La stratégie de survoler le sujet en ne répondant qu'aux questions les plus simples ne peut aboutir à une note correcte. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PC, session 2025 · PDF officiel ↗ · Copie locale
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
