Top piège du sujet
Unicité de la projection sur convexe fermé peu démontrée (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet autour du transport de masse régularisé (papier Sinkhorn Distances de Marco Cuturi, 2013, machine learning). Partie I : convexité et points selles, théorème des extrema liés. Partie II : entropie et codage de Shannon, divergence de Kullback-Leibler. Partie III : transport régularisé, étude du minimum d'une fonction strictement convexe via la divergence de KL. Partie IV : algorithme de Sinkhorn par dualité lagrangienne.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Convexité et points selles(Q1-Q3)Niveau attendu
Projection sur convexe fermé, théorème des extrema liés. Q1 unicité bien démontrée par moitié des candidats. Q2-c confusion fréquente sur arguments de dimension. Q3 partie (a) pas abordée, (b)/(c) plutôt bien traitées.
- Partie II — Partie II, Entropie et codage (Shannon)(Q4-Q6)Niveau attendu
Confusion log/ln signalée et tolérée. Q4 modulo remarque très bien traitée. Q5(b) veiller au mot 'vide', peu fait. Q5(c) raisonnement par récurrence en veillant à l'initialisation, fait par moitié.
- Partie III — Partie III, Transport régularisé(Q7-Q11)Difficile
F(alpha,beta) intersection de Q avec hyperplans affines. Q7 candidats reviennent à la définition de la convexité. Q9 fonction linéaire convexe, calculs aveugles à éviter. Q11 exemple trivial à donner mais peu fait.
- Partie IV — Partie IV, Dualité (algorithme de Sinkhorn)(Q12-Q16)Très difficile
Q12-a point facile gagné. Q12-b très peu de candidats parviennent à suivre l'indication. Q13 et suivantes rarement abordées correctement (calcul de dérivées partielles, concavité de G via exponentielle).
Analyse globale du jury
« Le sujet portait sur le transport de masse dans sa version régularisée introduite en 2013 par Marco Cuturi (Sinkhorn Distances : Lightspeed Computation of Optimal Transport). La version relaxée de Kantorovitch conduit à un problème linéaire sur le simplex sous contrainte difficile à résoudre en pratique pour des problèmes de grande taille. La version avec régularisation entropique préserve la convexité du problème et permet par dualité lagrangienne d'aboutir à un algorithme de résolution par minimisation alternée sur les variables duales (Sinkhorn Algorithm). Le sujet propose un cheminement progressif et permet aux candidats d'aborder un thème très en vogue en machine learning. »
Top pièges sanctionnés
Unicité de la projection sur convexe fermé peu démontrée (Q1)-1 pts
« La première partie de la question a été, presque toujours, bien traitée, en revanche l'unicité n'a été correctement démontrée que par une moitié des candidats. »
Arguments de dimension mal posés (n=m supposé sans justification)-1 pts
« Dans (c) les candidats qui se sont lancés dans des arguments de dimension ont, pour la plupart, pris n=m : peu ont pensé à montrer directement l'inclusion réciproque. »
Confusion dimension 1 / fonctions de plusieurs variables non maîtrisée-2 pts
« Le jury imagine bien que les candidats sont peu familiers avec les fonctions de plusieurs variables mais ils devraient au minimum savoir se ramener en dimension 1, soit en fixant toutes les variables sauf une, soit en considérant un segment. »
Linéarité = convexité oubliée (Q9)-1 pts
« Au final il fallait dire qu'une fonction linéaire est convexe plutôt que se lancer dans des calculs aveugles. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2023 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths X-ENS PSI 2023 (sigle XUSR) s'est déroulée le 17 avril 2023, durée 4 heures, coefficient 10. Sujet sur le transport optimal régularisé : thème de recherche actuelle en machine learning, basé sur le papier Sinkhorn Distances de Marco Cuturi publié en 2013.
Quatre parties : convexité et points selles (Partie I), entropie et codage de Shannon avec divergence de Kullback-Leibler (Partie II), transport régularisé (Partie III), algorithme de Sinkhorn par dualité lagrangienne (Partie IV). Le sujet propose un cheminement progressif menant à un thème très en vogue (Wasserstein GAN, transfert learning).
Les statistiques chiffrées (moyenne, écart-type) ne sont pas publiées dans les pages de tête du rapport jury, Partie IV rarement bien abordée selon le jury.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet de difficulté progressive avec un thème transverse (machine learning). Stratégie clé : réussir les Parties I et II pour atteindre 10-12/20, viser Partie III seulement si Parties I-II maîtrisées, ne pas se lancer dans la Partie IV sans avoir sécurisé les bases.
Si tu vises 10-12/20 (médiane à top 25%)
Réussis intégralement les Parties I (Q1-Q3) et II (Q4-Q6). Soigne particulièrement Q1 (unicité de la projection) et Q5 (récurrence avec initialisation). Évite les calculs aveugles en Q9.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter Partie III (Q7-Q11) avec rigueur sur la convexité, et entamer Partie IV (Q12-Q14). Q12-b suit une indication subtile, peu y parviennent. Q14 (concavité via exponentielle) est faisable avec un calcul propre des dérivées partielles.
Gestion des 4h : 25 min lecture + cartographie, 1h sur Parties I + II (rédaction parfaite Q1-Q6), 1h30 sur Partie III (Q7-Q11), 50 min sur Partie IV (Q12-Q14 maximum), 15 min relecture. Ne pas viser l'exhaustivité, Q15-Q16 rarement bien abordées.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Démontrer l'unicité de la projection : l'identité du parallélogramme suffit. Compétence de base à maîtriser.
- Se ramener en dimension 1 pour les fonctions multivariées : soit fixer toutes les variables sauf une, soit considérer un segment. Technique au programme PSI mais peu utilisée.
- Reconnaître qu'une fonction linéaire est convexe : Q9 piège : pas besoin de calculs aveugles, énoncer la propriété suffit.
- Donner des exemples triviaux quand demandé : Q11 (b) : ne pas hésiter à donner un exemple trivial. Le jury sanctionne l'absence d'exemple.
- Suivre les indications de l'énoncé : Q12 fournit une indication, à exploiter rigoureusement plutôt que d'inventer une approche personnelle.
Ressources
Téléchargements
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FAQ