Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
10.14
Médiane
10.1
Écart-type
3.50
Q1 (25%)
7.7
Q3 (75%)
12.5
Candidats présents
—
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en quatre parties autour des fonctions de matrices développables en séries entières. L'approche n'est pas fondée sur la convergence de séries matricielles mais sur les polynômes de matrices et le polynôme minimal. Préliminaires sur les rayons de convergence. Définition des fonctions de matrices via polynôme d'interpolation d'Hermite. Fonctions de matrices diagonalisables. Calcul effectif pour matrices nilpotentes, rang 1 (Fourier discrète) et séries génératrices binomiale/géométrique.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Préliminaires (rayons de convergence)(Q1-Q5)Abordable
Q1 condition Ru=0 souvent déduite mais réciproque mal rédigée. Q3 implications (i)=>(ii) et (ii)=>(iii) évidentes, (iii)=>(i) bien traitée par la majorité.
- Partie II — Partie II — Fonctions de matrices via polynôme minimal et Hermite(Q6-Q15)Niveau attendu
Polynôme minimal et propriétés. Q6 nombreux candidats affirment Ru+v=min(Ru,Rv) (faux). Q7 neutralisée car le mot 'réelles' manquait. Q11 valeurs propres de A racines de phi_A souvent prouvé, mais réciproque presque jamais traitée.
- Partie III — Partie III — Fonctions de matrices diagonalisables(Q16-Q19)Difficile
Calcul par diagonalisation. Q16 question calculatoire bien traitée (polynôme minimal (X-alpha)(X-beta)). Q17-a interpolation peu abordée. Q18 question peu abordée par crainte d'aborder la suite.
- Partie IV — Partie IV — Calcul effectif (nilpotent, rang 1, séries génératrices)(Q20-Q26)Très difficile
Matrice nilpotente, matrice de rang 1 (Fourier discrète), séries génératrices binomiale et géométrique. Q22 quasi-totalité absente ou fausse. Q23 très bonnes copies trouvent le polynôme minimal. Seules les très bonnes copies ont entamé.
Analyse globale du jury
« Le jury observe que l'énoncé n'était pas trop calculatoire. Cet énoncé a permis à presque tous les candidats de s'exprimer selon leur niveau de préparation et de maîtrise du programme. Les deux premières parties ont été très largement abordées. Les difficultés ont été progressives. L'élément le plus discriminant a été la compréhension de la manière dont on évalue une fonction en une matrice à travers les polynômes et l'interpolation d'Hermite aux racines du polynôme minimal. Le Jury a utilisé toute l'échelle des notes, allant de 0 à 20. La répartition a été presque optimale : une belle gaussienne avec une moyenne de 10,14 et un écart type de 3,5. »
Top pièges sanctionnés
Confusion sur le rayon de convergence d'une somme : Ru+v ≠ min(Ru,Rv)-1 pts
« De nombreux candidats affirment que Ru+v = min(Ru,Rv). »
Oubli de la réciproque : valeurs propres de A racines de phi_A-2 pts
« Un certain nombre de candidats a prouvé que les valeurs propres de A sont des racines de phi_A. En revanche, étonnamment, la réciproque n'a presque jamais été traitée. »
Multiplicités des racines mal prises en compte-2 pts
« Le jury a observé de nombreuses lacunes dans le décompte des racines avec leurs ordres de multiplicité et dans le raisonnement pour se restreindre à la démonstration de l'injectivité de l'endomorphisme. »
Manque de compréhension de l'évaluation d'une fonction en une matrice-3 pts
« L'élément le plus discriminant a été la compréhension de la manière dont on évalue une fonction en une matrice à travers les polynômes et l'interpolation d'Hermite aux racines du polynôme minimal. »
Lacunes sur la manipulation des séries entières et des polynômes de matrices-2 pts
« Les copies ont parfois révélé de nombreuses lacunes concernant la manipulation des séries entières et les polynômes de matrices. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2024 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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FAQ
