Top piège du sujet
Unicité de la projection presque jamais abordée (identité du parallélogramme)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet sur les propriétés subtiles des ensembles convexes avec deux applications : la dualité lagrangienne en programmation linéaire et une propriété des systèmes linéaires sous-dimensionnés. Trois parties : projection sur convexe fermé et séparation, points extrémaux (théorème de Krein-Milman), résultat de dualité avec cônes convexes.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Projection et séparation(Q1-Q8)Difficile
Q1 projection sur convexe fermé non vide via bornes atteintes. Unicité presque jamais correctement abordée (identité du parallélogramme). Q3 Cauchy-Schwarz. Q5 approche séquentielle peu naturelle PSI. Q8 question très difficile, aucun candidat correct.
- Partie II — Partie II, Points extrémaux(Q9-Q15)Très difficile
Récurrence classique. Q9 plutôt bien traité. Q12 prendre h orthogonal aux pi pour i appartenant à I(x), trouver argument dans rares copies. Q15 absurde + récurrence sur dimension.
- Partie III — Partie III, Résultat de dualité(Q16-Q18)Très difficile
Cônes convexes. Q16 question bien traitée. Q17 sens trivial vu, réciproque via séparation stricte. Q18 aspect fermé difficile : se ramener à un compact ou raisonner par récurrence sur k.
Analyse globale du jury
« Le sujet s'est révélé très difficile pour les candidats et le jury a été contraint d'adapter les notations dans chaque question afin de récompenser ceux qui parvenaient à apporter des éléments de réponse pertinents. Le sujet explore certaines des subtiles et souvent difficiles propriétés des ensembles convexes et en donne deux applications : la dualité Lagrangienne en programmation linéaire et une propriété des systèmes linéaires sous-dimensionnés. »
Top pièges sanctionnés
Unicité de la projection presque jamais abordée (identité du parallélogramme)-1 pts
« Pour l'unicité, presque jamais abordée correctement, afin d'utiliser la convexité, l'identité du parallélogramme pouvait être utilisée. »
Cauchy-Schwarz oubliée pour la réciproque-2 pts
« Le sens direct a été souvent correctement abordé en revanche la réciproque, dont une preuve possible consistait à reprendre la démonstration classique de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, n'a pas été traitée. »
Approche séquentielle non maîtrisée en PSI-2 pts
« L'approche séquentielle n'est peut être pas dans l'ADN de la filière PSI même si le théorème de Bolzano-Weierstrass était rappelé (en une courte phrase) en bas de la première page. »
Question 8 : aucun candidat n'a traité correctement-3 pts
« Autant dire qu'aucun candidat n'a traité correctement la question, mais certaines copies ont su montrer une initiative intéressante qui a pu être valorisée. »
Chapitres clés à maîtriser
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Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2022 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths X-ENS PSI 2022 (sigle XUSR) s'est déroulée le 18 avril 2022, durée 4 heures, coefficient 10. Sujet sur les propriétés des ensembles convexes avec deux applications avancées : dualité lagrangienne en programmation linéaire et systèmes linéaires sous-dimensionnés.
Trois parties : projection sur convexe fermé et séparation (Partie I), points extrémaux et théorème de Krein-Milman (Partie II), résultat de dualité avec cônes convexes (Partie III). Sujet abstrait, peu calculatoire, demandant des techniques rares en PSI.
Le jury XUSR 2022 écrit explicitement : « le sujet s'est révélé très difficile pour les candidats et le jury a été contraint d'adapter les notations dans chaque question afin de récompenser ceux qui parvenaient à apporter des éléments de réponse pertinents ». Question 8 : « aucun candidat n'a traité correctement ».
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet exceptionnellement difficile pour PSI. Stratégie clé : capitaliser sur les questions accessibles (Q1, Q9, Q16) et prendre des initiatives valorisables sur les questions difficiles. Le jury a explicitement valorisé les copies montrant « une initiative intéressante » même sur des questions partiellement traitées.
Si tu vises 7-9/20 (top 30-40%)
Concentre-toi sur Q1 (existence de la projection via bornes atteintes), Q3 (Cauchy-Schwarz), Q9 (récurrence classique), Q16 (cônes convexes). Ces 4-5 questions bien rédigées suffisaient à atteindre la médiane sur ce sujet.
Si tu vises 12+ (top 10%)
Il faut traiter unicité de Q1 (identité du parallélogramme), Q15 (Krein-Milman par absurde + récurrence), Q17 (séparation stricte). Q12 demandait de prendre h orthogonal, argument trouvé dans rares copies. Q8 et Q18 hors d'atteinte.
Gestion des 4h : 30 min lecture (sujet abstrait, à bien comprendre), 1h30 sur Partie I (Q1-Q7, viser 6 questions sur 8), 1h30 sur Partie II (Q9-Q15, viser 4-5 questions), 30 min sur Partie III (Q16, Q17 si possible). Tenter Q8 et Q18 seulement si le reste est solide.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Démontrer l'unicité avec l'identité du parallélogramme : technique standard pour les projections sur convexes fermés.
- Cauchy-Schwarz : connaître la démonstration et savoir l'adapter : Q3 demandait précisément la démonstration classique.
- Bolzano-Weierstrass et approche séquentielle : au programme PSI, à pratiquer même si peu naturel pour la filière.
- Prendre des initiatives sur les questions difficiles : le jury valorise les amorces pertinentes même non abouties (cas explicite Q8).
- Bien lire les rappels en bas de page : Bolzano-Weierstrass était rappelé en bas de la première page (un cadeau du jury).
Ressources
Téléchargements
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FAQ