Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet sur les propriétés subtiles des ensembles convexes avec deux applications : la dualité lagrangienne en programmation linéaire et une propriété des systèmes linéaires sous-dimensionnés. Trois parties : projection sur convexe fermé et séparation, points extrémaux (théorème de Krein-Milman), résultat de dualité avec cônes convexes.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Projection et séparation(Q1-Q8)Difficile
Q1 projection sur convexe fermé non vide via bornes atteintes. Unicité presque jamais correctement abordée (identité du parallélogramme). Q3 Cauchy-Schwarz. Q5 approche séquentielle peu naturelle PSI. Q8 question très difficile, aucun candidat correct.
- Partie II — Partie II — Points extrémaux(Q9-Q15)Très difficile
Récurrence classique. Q9 plutôt bien traité. Q12 prendre h orthogonal aux pi pour i appartenant à I(x), trouver argument dans rares copies. Q15 absurde + récurrence sur dimension.
- Partie III — Partie III — Résultat de dualité(Q16-Q18)Très difficile
Cônes convexes. Q16 question bien traitée. Q17 sens trivial vu, réciproque via séparation stricte. Q18 aspect fermé difficile : se ramener à un compact ou raisonner par récurrence sur k.
Analyse globale du jury
« Le sujet s'est révélé très difficile pour les candidats et le jury a été contraint d'adapter les notations dans chaque question afin de récompenser ceux qui parvenaient à apporter des éléments de réponse pertinents. Le sujet explore certaines des subtiles et souvent difficiles propriétés des ensembles convexes et en donne deux applications : la dualité Lagrangienne en programmation linéaire et une propriété des systèmes linéaires sous-dimensionnés. »
Top pièges sanctionnés
Unicité de la projection presque jamais abordée (identité du parallélogramme)-1 pts
« Pour l'unicité, presque jamais abordée correctement, afin d'utiliser la convexité, l'identité du parallélogramme pouvait être utilisée. »
Cauchy-Schwarz oubliée pour la réciproque-2 pts
« Le sens direct a été souvent correctement abordé en revanche la réciproque, dont une preuve possible consistait à reprendre la démonstration classique de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, n'a pas été traitée. »
Approche séquentielle non maîtrisée en PSI-2 pts
« L'approche séquentielle n'est peut être pas dans l'ADN de la filière PSI même si le théorème de Bolzano-Weierstrass était rappelé (en une courte phrase) en bas de la première page. »
Question 8 : aucun candidat n'a traité correctement-3 pts
« Autant dire qu'aucun candidat n'a traité correctement la question, mais certaines copies ont su montrer une initiative intéressante qui a pu être valorisée. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2022 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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