Électrocinétique en prépa : circuits RLC et régime transitoire

L'électrocinétique est souvent le premier chapitre de physique traité en prépa, et pour cause : il pose un langage, tensions, courants, dipôles, que tu retrouveras en régime sinusoïdal, en filtrage et jusqu'en électronique de deuxième année. Tout repose sur deux lois de conservation (les lois de Kirchhoff) et trois dipôles élémentaires. Une fois qu'on sait poser proprement une équation différentielle et lire une constante de temps, l'immense majorité des exercices de régime transitoire se résolvent avec le même réflexe.

Les lois de Kirchhoff : nœuds et mailles

Un circuit se décrit avec deux lois de conservation, valables à chaque instant dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), c'est-à-dire tant que les circuits sont assez petits pour que le courant soit le même en tout point d'un fil.

La loi des nœuds traduit la conservation de la charge : en un nœud, la somme des intensités qui entrent est égale à la somme de celles qui sortent. Avec une convention d'orientation ($\varepsilon_k = +1$ pour un courant entrant, $-1$ pour un sortant) :

La loi des mailles traduit, elle, le fait que la tension est une différence de potentiel : le long d'une maille fermée parcourue dans un sens donné, la somme algébrique des tensions est nulle.

Les trois dipôles : résistance, bobine, condensateur

Trois dipôles linéaires suffisent à construire tous les circuits du programme. On les écrit en convention récepteur (la flèche de tension $u$ pointe en sens inverse de celle du courant $i$).

De ces relations découlent deux règles de continuité, essentielles pour trouver les conditions initiales d'un régime transitoire :

• La tension aux bornes d'un condensateur est continue : $i = C\,\frac{du}{dt}$ resterait fini seulement si $u$ ne saute pas. Une discontinuité de $u_C$ exigerait un courant infini.
• Le courant traversant une bobine est continu : $u = L\,\frac{di}{dt}$ imposerait une tension infinie si $i$ sautait.

Régime transitoire du premier ordre : RC et RL

Un circuit qui ne contient qu'un seul composant réactif (un condensateur ou une bobine) associé à une résistance obéit à une équation différentielle linéaire du premier ordre. C'est le cœur du chapitre.

Le circuit RC (charge). On branche à $t = 0$ une source de tension continue $E$ sur une résistance $R$ en série avec un condensateur $C$ initialement déchargé. La loi des mailles donne $E = R\,i + u_C$, et comme $i = C\,\frac{du_C}{dt}$ :

La constante $\tau = RC$ est la constante de temps du circuit, homogène à une durée. Avec la condition initiale $u_C(0) = 0$ (continuité de la tension du condensateur), la solution est :

La décharge obéit à la même équation sans second membre. Un condensateur chargé sous $E$ qu'on relie à $R$ vérifie $RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = 0$, d'où $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$.

Le circuit RL. Une bobine $L$ en série avec $R$ sous une source $E$ suit exactement la même logique. La loi des mailles $E = R\,i + L\,\frac{di}{dt}$ se réécrit :

Le circuit RLC série : équation du second ordre

Réunissons les trois dipôles en série sous une source $E$. La loi des mailles donne $E = R\,i + L\,\frac{di}{dt} + u_C$, avec $i = C\,\frac{du_C}{dt}$. En remplaçant $i$, on obtient une équation différentielle du second ordre en $u_C$ :

On la met sous sa forme canonique en divisant par $LC$ et en introduisant deux grandeurs caractéristiques, la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$ :

Le facteur de qualité s'écrit aussi $Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{RC\omega_0}$. Il est sans dimension et mesure l'amortissement : plus $Q$ est grand, moins le circuit est amorti. Le régime dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique $r^2 + \frac{\omega_0}{Q}\,r + \omega_0^2 = 0$, soit $\Delta = \omega_0^2\left(\frac{1}{Q^2} - 4\right)$ :

En régime pseudo-périodique, la tension oscille en s'amortissant. La pseudo-pulsation et la pseudo-période valent :

5 erreurs classiques à éviter

En électrocinétique, les fautes sont presque toujours des fautes de signe ou de condition initiale. Les repérer, c'est sécuriser l'essentiel des points.

1. Oublier la convention récepteur. Les relations $u = Ri$, $u = L\frac{di}{dt}$, $i = C\frac{du}{dt}$ supposent que tension et courant sont fléchés en sens inverse. En convention générateur, un signe moins apparaît. Fixe la convention une fois pour toutes.
2. Rendre discontinue une grandeur qui ne peut pas l'être. La tension d'un condensateur et le courant d'une bobine sont continus. C'est ce qui donne la condition initiale ($u_C(0)$ ou $i(0)$) juste après une commutation. Ne pas les faire sauter.
3. Confondre $\tau = RC$ et $\tau = L/R$. Pour un RC, la constante de temps est un produit ; pour un RL, un quotient. Vérifie l'homogénéité : $[RC]$ et $[L/R]$ valent bien des secondes.
4. Se tromper de valeur finale. En régime permanent continu, le condensateur est un interrupteur ouvert et la bobine un simple fil. Une charge de condensateur tend vers $E$, un courant dans une bobine vers $E/R$, pas l'inverse.
5. Comparer $Q$ au mauvais seuil pour un RLC. Le seuil entre régimes est $Q = \tfrac12$, pas $Q = 1$. Si $Q < \tfrac12$ le circuit est apériodique, si $Q > \tfrac12$ il oscille. Vérifie aussi que $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ est bien homogène à l'inverse d'un temps.

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, charge d'un circuit RC

Énoncé. À $t = 0$, on branche une source $E = 5{,}0$ V sur une résistance $R = 1{,}0$ k$\Omega$ en série avec un condensateur $C = 1{,}0$ µF initialement déchargé. Établir l'équation différentielle, donner $\tau$ et $u_C(t)$, puis calculer la durée au bout de laquelle $u_C = 0{,}63\,E$.

Solution. Loi des mailles : $E = R\,i + u_C$ avec $i = C\,\frac{du_C}{dt}$. On obtient $RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = E$. La constante de temps vaut :

Avec $u_C(0) = 0$, la solution est $u_C(t) = E\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)$. La tension atteint $0{,}63\,E$ (soit $1 - e^{-1}$ de l'écart) précisément au bout de $t = \tau$ :

Résultat : $\tau = 1{,}0$ ms, et le condensateur atteint $63\,\%$ de sa charge en $1{,}0$ ms. Le régime permanent ($u_C \to 5{,}0$ V) est pratiquement établi au bout de $5\tau = 5{,}0$ ms.

Exercice 2, établissement du courant dans un RL

Énoncé. Une bobine idéale $L = 0{,}20$ H est mise en série avec $R = 100\ \Omega$ et une source $E = 12$ V, fermée à $t = 0$. Donner la constante de temps, le courant final et l'expression $i(t)$.

Solution. Loi des mailles : $E = R\,i + L\,\frac{di}{dt}$, soit $\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}$. La constante de temps est un quotient :

En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil : $u_L = 0$, donc le courant final vaut $I = \frac{E}{R} = \frac{12}{100} = 0{,}12$ A. Le courant dans une bobine étant continu, $i(0) = 0$, d'où :

Résultat : $\tau = 2{,}0$ ms, $I = 0{,}12$ A. Le courant s'établit progressivement, contrairement au RC où c'est la tension qui monte : dans les deux cas, c'est la grandeur associée à l'énergie stockée qui varie de façon continue.

Exercice 3, régime d'un circuit RLC série

Énoncé. Un circuit RLC série comporte $L = 10$ mH, $C = 1{,}0$ µF et $R = 20\ \Omega$. Déterminer $\omega_0$ et $Q$, identifier le régime, puis calculer la pseudo-période. Quelle valeur de $R$ rendrait le régime critique ?

Solution. La pulsation propre ne dépend que de $L$ et $C$ :

Le facteur de qualité vaut :

Comme $Q = 5{,}0 > \tfrac12$, le régime est pseudo-périodique. La pseudo-pulsation et la pseudo-période valent :

Pour le régime critique, on impose $Q = \tfrac12$, soit $\frac{1}{R}\sqrt{L/C} = \tfrac12$, d'où $R = 2\sqrt{L/C} = 2 \times 100 = 200\ \Omega$. C'est la résistance dite critique : au-delà, le circuit devient apériodique.

Résultat : $\omega_0 = 10^{4}$ rad·s⁻¹, $Q = 5{,}0$, régime pseudo-périodique de pseudo-période $\approx 0{,}63$ ms ; le régime critique s'obtiendrait pour $R = 200\ \Omega$.

Ces automatismes, orienter proprement le circuit, poser l'équation différentielle, identifier constante de temps, $\omega_0$ et $Q$, sont exactement ceux que nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, entraînent en priorité : ils reviennent à chaque colle et forment le socle de toute l'électronique de deuxième année.

Ce qu'il faut retenir

• Lois de Kirchhoff : loi des nœuds $\sum \varepsilon_k i_k = 0$ (conservation de la charge), loi des mailles $\sum \varepsilon_k u_k = 0$, dans le cadre de l'ARQS.
• Dipôles (convention récepteur) : $u = Ri$, $u = L\frac{di}{dt}$, $i = C\frac{du}{dt}$. La tension d'un condensateur et le courant d'une bobine sont continus.
• Premier ordre : $\frac{dx}{dt} + \frac{x}{\tau} = \frac{x_\infty}{\tau}$ donne $x(t) = x_\infty + (x(0) - x_\infty)e^{-t/\tau}$, avec $\tau = RC$ (RC) ou $\tau = L/R$ (RL).
• Constante de temps : $63\,\%$ de l'écart franchi à $t = \tau$, régime établi à $5\tau$.
• RLC série : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$, avec $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.
• Trois régimes : apériodique ($Q < \tfrac12$), critique ($Q = \tfrac12$, le plus rapide), pseudo-périodique ($Q > \tfrac12$, oscillations amorties à $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$).

L'électrocinétique est un socle qu'on retrouve toute l'année, du régime sinusoïdal forcé au filtrage. Pour organiser ton travail de première année autour de ces chapitres, appuie-toi sur notre guide pour réussir sa prépa et sur nos conseils pour réviser efficacement en prépa. Ce chapitre dialogue aussi avec la mécanique du point, où l'on rencontre les mêmes équations différentielles du second ordre appliquées à l'oscillateur.

Si tu prépares encore le lycée, situe ces notions dans la continuité du programme de maths et physique de Terminale spécialité : les circuits RC y sont abordés, et la prépa en fait le point de départ d'une théorie complète.