Mécanique du point en prépa : référentiels et PFD

La mécanique du point est le premier grand chapitre de physique de MPSI et PCSI, et c'est aussi celui qui déroute le plus au premier trimestre. Les lois sont les mêmes qu'au lycée, celles de Newton, mais les outils changent d'échelle : on ne se contente plus de projeter des forces sur un axe, on manipule des coordonnées polaires, on invoque trois théorèmes énergétiques et cinétiques, et on modélise tout ressort ou tout pendule par un oscillateur harmonique. Une fois cette boîte à outils en place, la quasi-totalité des exercices se résout avec les mêmes réflexes.

Cinématique du point : position, vitesse, accélération

Décrire un mouvement, c'est d'abord fixer un référentiel (un solide de référence muni d'une horloge) et un système de coordonnées. On repère le point $M$ par son vecteur position $\vec{OM}(t)$. La vitesse est sa dérivée temporelle, l'accélération la dérivée de la vitesse :

Coordonnées cartésiennes. Avec la base fixe $(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})$, tout est simple car les vecteurs de base ne dépendent pas du temps :

Le point sur la lettre note la dérivée par rapport au temps ($\dot{x} = dx/dt$), une notation qu'on adopte dès la Sup. C'est la continuité directe de ce que tu faisais au lycée avec les lois de Newton et les vecteurs vitesse et accélération.

Coordonnées polaires (mouvement plan). La nouveauté de la prépa est la base mobile $(\vec{e_r}, \vec{e_\theta})$, qui tourne avec le point. Ses vecteurs dépendent du temps par l'intermédiaire de $\theta$ :

En dérivant $\vec{OM} = r\,\vec{e_r}$ et en tenant compte de ces variations, on obtient les formules à connaître par cœur :

Coordonnées cylindriques. On ajoute simplement la cote $z$ le long de l'axe fixe $\vec{e_z}$. Le vecteur position devient $\vec{OM} = r\,\vec{e_r} + z\,\vec{e_z}$, et il suffit d'ajouter les termes en $z$ :

Référentiel galiléen et principe fondamental de la dynamique

Un référentiel est dit galiléen lorsque le principe d'inertie y est vérifié : un point isolé y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Les lois de Newton ne s'appliquent que dans un tel référentiel. En Sup, on utilise selon l'échelle du problème le référentiel terrestre (expériences de laboratoire), le référentiel géocentrique (satellites) ou le référentiel héliocentrique (planètes), chacun galiléen à une très bonne approximation sur la durée considérée.

Le principe fondamental de la dynamique (PFD), ou deuxième loi de Newton, s'énonce ainsi : dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement $\vec{p} = m\vec{v}$ est égale à la somme des forces extérieures. À masse constante, il prend sa forme la plus utilisée :

C'est une relation vectorielle. Toute la technique consiste à choisir une base adaptée (cartésienne, polaire ou cylindrique), à y exprimer $\vec{a}$ avec les formules précédentes, puis à projeter pour obtenir les équations scalaires du mouvement.

Les forces usuelles

Réussir l'inventaire des forces, c'est réussir la moitié de l'exercice. Voici les forces qui reviennent en mécanique du point, avec leurs caractéristiques.

Poser un bilan des forces propre et savoir sur quels axes projeter, c'est le socle commun à tous les chapitres de mécanique. Si ces automatismes te manquent encore, notre guide de méthode pour réussir sa prépa détaille comment les ancrer par un travail régulier plutôt que par du bachotage de veille de colle.

Approche énergétique : travail et théorèmes

L'approche énergétique évite souvent de résoudre l'équation différentielle du mouvement. Le travail d'une force $\vec{F}$ le long d'un déplacement, et la puissance associée, s'écrivent :

Avec l'énergie cinétique $E_c = \tfrac{1}{2}m v^2$, le théorème de l'énergie cinétique (TEC) énonce que sa variation entre deux points est égale au travail total des forces :

Une force est dite conservative lorsque son travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des positions de départ et d'arrivée. On lui associe alors une énergie potentielle $E_p$ telle que $W = -\Delta E_p$. Les trois cas classiques :

• Pesanteur : $E_p = mgz + \text{cte}$ (axe $Oz$ vers le haut).
• Ressort : $E_p = \tfrac{1}{2}k\,x^2 + \text{cte}$, avec $x = \ell - \ell_0$ l'allongement.
• Gravitation : $E_p = -\dfrac{G\,m\,M}{r} + \text{cte}$.

On définit enfin l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$. Le théorème de l'énergie mécanique dit que sa variation est égale au travail des seules forces non conservatives (frottements, tension d'un fil, force motrice) :

Moment cinétique et théorème du moment cinétique

Le moment cinétique d'un point $M$ par rapport à un point fixe $O$ est le produit vectoriel de son vecteur position par sa quantité de mouvement :

Le moment d'une force $\vec{F}$ en $O$ est $\vec{\mathcal{M}_O}(\vec{F}) = \vec{OM} \wedge \vec{F}$. Le théorème du moment cinétique (TMC), dans un référentiel galiléen et pour un point $O$ fixe, relie l'un à l'autre :

Ce théorème brille pour les forces centrales, c'est-à-dire dirigées vers un point fixe $O$ (gravitation, force de rappel d'un ressort attaché en $O$). Leur moment en $O$ est nul, car $\vec{OM}$ et $\vec{F}$ sont colinéaires. Le moment cinétique est alors conservé, avec deux conséquences majeures :

• Le mouvement est plan (la trajectoire reste dans le plan perpendiculaire à $\vec{L_O}$ constant).
• La loi des aires : $r^2\dot{\theta} = C$ est constant, où $C$ est la constante des aires. Le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales.

L'oscillateur harmonique

L'oscillateur harmonique est le modèle universel des petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable. Un système est un oscillateur harmonique lorsque l'écart à l'équilibre $x(t)$ vérifie l'équation :

où $\omega_0$ est la pulsation propre (en rad·s⁻¹). La solution est sinusoïdale, $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$, avec l'amplitude $A$ et la phase $\varphi$ fixées par les conditions initiales. La période et la fréquence valent :

Le cas de référence est la masse-ressort horizontal sans frottement : le PFD projeté sur l'axe du mouvement donne $m\ddot{x} = -k x$, soit $\ddot{x} + \tfrac{k}{m}x = 0$. On identifie directement :

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, la masse-ressort horizontale

Énoncé. Une masse $m = 0{,}20$ kg glisse sans frottement sur un rail horizontal, reliée à un ressort de raideur $k = 20$ N·m⁻¹. On l'écarte de $x_0 = 5{,}0$ cm de sa position d'équilibre et on la lâche sans vitesse. Établir l'équation du mouvement, en déduire la période, puis la vitesse maximale.

Solution. Système : la masse, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On repère l'écart $x$ à l'équilibre sur l'axe $Ox$ du mouvement. Trois forces : le poids et la réaction normale (verticaux, ils se compensent et n'ont pas de composante sur $Ox$), et la tension du ressort $\vec{T} = -kx\,\vec{e_x}$. Le PFD projeté sur $Ox$ donne :

C'est un oscillateur harmonique de pulsation $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. La période vaut donc :

Avec les conditions initiales $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = 0$, la solution est $x(t) = x_0\cos(\omega_0 t)$, d'où $\dot{x}(t) = -x_0\omega_0\sin(\omega_0 t)$. La vitesse est maximale en valeur au passage par l'équilibre :

On retrouve ce résultat par l'énergie : $E_m = \tfrac{1}{2}kx_0^2$ se conserve, et au passage par l'équilibre toute cette énergie est cinétique, $\tfrac{1}{2}mv_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}kx_0^2$, soit $v_{\max} = x_0\sqrt{k/m}$. Les deux méthodes concordent.

Résultat : $T \approx 0{,}63$ s, indépendante de l'amplitude, et $v_{\max} = 0{,}50$ m·s⁻¹.

Exercice 2, le pendule simple aux petites oscillations

Énoncé. Un pendule simple est constitué d'une masse $m$ au bout d'un fil inextensible de longueur $L$, sans frottement. On note $\theta$ l'angle du fil avec la verticale. Par le théorème du moment cinétique, établir l'équation du mouvement, puis la période des petites oscillations pour $L = 1{,}0$ m.

Solution. Système : la masse, référentiel terrestre galiléen, point fixe $O$ = point d'attache du fil. Deux forces : le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ et la tension du fil $\vec{T}$. La tension est dirigée selon le fil, donc selon $\vec{OM}$ : son moment en $O$ est nul. Seul le poids contribue. Le moment cinétique vaut $\vec{L_O} = \vec{OM}\wedge m\vec{v}$, de norme $L_O = mL^2\dot{\theta}$ (mouvement circulaire de rayon $L$). Le moment du poids en $O$ a pour norme $-mgL\sin\theta$ (couple de rappel). Le TMC projeté sur l'axe de rotation donne :

Aux petites oscillations, $\sin\theta \approx \theta$ (en radians), et l'équation devient celle d'un oscillateur harmonique :

La période des petites oscillations est donc, avec $g = 9{,}81$ m·s⁻² :

Résultat : $\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$, période $T \approx 2{,}0$ s aux petites oscillations, indépendante de la masse. On note que la période ne dépend pas non plus de l'amplitude tant qu'elle reste petite : c'est l'isochronisme des petites oscillations.

Exercice 3, satellite en orbite circulaire

Énoncé. Un satellite de masse $m$ décrit une orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre (masse $M$), dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Montrer que le mouvement est uniforme, exprimer la vitesse $v$ et la période $T$, puis l'énergie mécanique $E_m$.

Solution. Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation $\vec{F} = -\dfrac{GmM}{r^2}\vec{e_r}$, force centrale dirigée vers le centre $O$ de la Terre. En coordonnées polaires sur un cercle de rayon $r$ constant, l'accélération vaut $\vec{a} = -r\dot{\theta}^2\,\vec{e_r} + r\ddot{\theta}\,\vec{e_\theta}$. Le PFD projeté sur $\vec{e_\theta}$ donne $mr\ddot{\theta} = 0$, donc $\dot{\theta} = \text{cte}$ : le mouvement est circulaire uniforme. Sur $\vec{e_r}$ :

On en tire la vitesse, indépendante de la masse du satellite :

La période est $T = \dfrac{2\pi r}{v}$, ce qui, élevé au carré, redonne la troisième loi de Kepler :

Pour l'énergie, l'énergie cinétique vaut $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{GmM}{2r}$ et l'énergie potentielle de gravitation $E_p = -\dfrac{GmM}{r}$. L'énergie mécanique est leur somme :

Résultat : $v = \sqrt{GM/r}$, $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$ et $E_m = -\dfrac{GmM}{2r}$. L'énergie mécanique est négative, signature d'un état lié : le satellite ne peut s'échapper qu'en recevant assez d'énergie pour ramener $E_m$ à zéro.

Ces trois réflexes, mettre une équation sous forme canonique d'oscillateur, dégainer le TMC dès qu'une force est centrale, et croiser PFD et énergie pour se contrôler, sont exactement ceux que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, entraînent en priorité : ils reviennent dans presque tous les sujets de mécanique du concours, et se préparent bien mieux par une révision régulière et active que par la relecture passive du cours.

Ce qu'il faut retenir

• Cinématique : $\vec{v} = \dot{r}\,\vec{e_r} + r\dot{\theta}\,\vec{e_\theta}$ et $\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\vec{e_r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\vec{e_\theta}$ en polaires ; on ajoute $\dot{z}\,\vec{e_z}$ et $\ddot{z}\,\vec{e_z}$ en cylindriques.
• PFD : $\sum\vec{F} = m\vec{a}$ dans un référentiel galiléen ; tout se joue sur le choix de la base de projection.
• Énergie : $\Delta E_c = \sum W$ (TEC) ; $E_m = E_c + E_p$ se conserve si toutes les forces qui travaillent sont conservatives.
• Énergies potentielles : $mgz$ (pesanteur), $\tfrac{1}{2}kx^2$ (ressort), $-GmM/r$ (gravitation).
• Moment cinétique : $\vec{L_O} = \vec{OM}\wedge m\vec{v}$ et $\dfrac{d\vec{L_O}}{dt} = \vec{\mathcal{M}_O}$ ; force centrale $\Rightarrow$ $\vec{L_O}$ constant, mouvement plan, loi des aires $r^2\dot{\theta} = C$.
• Oscillateur harmonique : $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$, période $T = 2\pi/\omega_0$ ; ressort $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, pendule $\omega_0 = \sqrt{g/L}$.

La mécanique du point est la fondation de toute la physique de prépa : elle irrigue la mécanique du solide, les oscillateurs amortis et forcés, l'électromagnétisme et la physique des ondes. La solidité de ce premier chapitre conditionne toute l'année, d'où l'intérêt de le travailler à fond dès la rentrée. Pour situer d'où tu pars, notre panorama du programme de maths et physique de Terminale montre précisément ce que la prépa approfondit et ce qu'elle suppose déjà acquis.

Envie de bâtir ces automatismes dès le lycée ou de les consolider en Sup ? Découvre la filière MPSI et la façon dont Hadamard accompagne la mécanique du point, du bilan des forces jusqu'aux oscillateurs, avec des colles régulières et des corrigés détaillés.