Lentilles minces : formules et exercices corrigés

Une lentille convergente, c'est ce petit morceau de verre qui concentre la lumière du soleil en un point brûlant, qui forme l'image nette sur le capteur d'un appareil photo, et qui, dans ton œil, projette le monde sur ta rétine. Derrière ces usages se cache une optique géométrique étonnamment simple : deux formules suffisent à prévoir où se forme une image et quelle sera sa taille.

La lentille mince convergente

Une lentille mince est un milieu transparent limité par deux surfaces, dont l'épaisseur au centre est négligeable devant les rayons de courbure. Une lentille convergente est plus épaisse au centre que sur les bords : elle fait converger un faisceau de rayons parallèles vers un même point. On la représente par un segment fléché aux deux extrémités, tracé perpendiculairement à l'axe optique.

Trois éléments définissent la lentille sur son axe optique :

• Le centre optique $O$ : le centre de la lentille. Tout rayon qui passe par $O$ n'est pas dévié.
• Le foyer image $F'$ : le point où convergent les rayons arrivant parallèles à l'axe. Un faisceau parallèle à l'axe ressort en se croisant en $F'$.
• Le foyer objet $F$ : le point symétrique de $F'$ par rapport à $O$. Un rayon issu de $F$ ressort parallèle à l'axe.

La distance focale est la grandeur algébrique $f' = \overline{OF'}$. Pour une lentille convergente, $f' > 0$. On oriente l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (de la gauche vers la droite), et toutes les distances $\overline{OA}$, $\overline{OA'}$, $\overline{OF'}$ sont des grandeurs algébriques : elles portent un signe selon leur position par rapport à $O$.

La vergence en dioptries

La vergence $C$ d'une lentille mesure son pouvoir de faire converger la lumière. Elle est définie comme l'inverse de la distance focale :

La vergence s'exprime en dioptries (symbole $\delta$, ou $\mathrm{m}^{-1}$) à condition d'exprimer $f'$ en mètres. Plus la lentille est convergente (courte distance focale), plus sa vergence est grande. Une lentille convergente a une vergence positive ; une lentille divergente aurait une vergence négative.

La relation de conjugaison de Descartes

C'est la formule centrale du chapitre. Elle relie la position de l'objet $A$ et celle de son image $A'$, toutes deux repérées par rapport au centre optique $O$. Pour un objet $A$ sur l'axe et son image $A'$ :

On dit que $A$ et $A'$ sont conjugués par la lentille. Connaissant deux des trois grandeurs, on trouve la troisième. En pratique, on connaît la position de l'objet $\overline{OA}$ et la distance focale $f'$, et on cherche $\overline{OA'}$. Il suffit d'isoler $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$ :

Le grandissement

Une fois la position de l'image connue, le grandissement $\gamma$ (lettre grecque gamma) donne sa taille et son sens. Il compare la hauteur algébrique de l'image $\overline{A'B'}$ à celle de l'objet $\overline{AB}$ :

La deuxième égalité, qui relie le grandissement aux positions, découle du théorème de Thalès appliqué au rayon passant par le centre optique. Le grandissement se lit sur deux plans :

Exemple : $\gamma = -2$ décrit une image deux fois plus grande et renversée, tandis que $\gamma = +3$ décrit l'image agrandie et droite d'une loupe. La hauteur de l'image se calcule ensuite par $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}$.

Construire l'image : les trois rayons particuliers

La construction géométrique permet de trouver l'image sans calcul, à la règle. On considère un objet $AB$ perpendiculaire à l'axe, avec $A$ sur l'axe et $B$ à son sommet. On cherche l'image $B'$ du point $B$ : il suffit de tracer deux rayons issus de $B$ dont on connaît le comportement, leur intersection après la lentille donne $B'$. Trois rayons sont particuliers, on en choisit deux :

L'intersection des rayons émergents donne le point image $B'$. On projette alors $B'$ perpendiculairement sur l'axe pour obtenir $A'$, le pied de l'image. Deux rayons suffisent à localiser $B'$ ; le troisième sert de vérification : les trois doivent se croiser au même point.

Nature de l'image selon la position de l'objet

Pour un objet réel (placé avant la lentille), la nature de l'image dépend entièrement de sa distance au foyer objet $F$. On note $d$ la distance objet-lentille, à comparer à la distance focale $f'$ :

La frontière est toujours le foyer objet $F$. Un objet plus loin que $F$ donne une image réelle et renversée, que l'on peut projeter. Un objet plus près que $F$ donne une image virtuelle, droite et agrandie : c'est exactement ce que fait une loupe posée juste au-dessus d'un texte.

Applications : appareil photo, œil, loupe

Les lentilles convergentes sont partout. Trois exemples résument tout le chapitre :

• L'appareil photo. L'objectif est une lentille convergente ; l'objet (la scène) est très loin, bien au-delà de $2f'$. L'image est donc réelle, renversée et réduite, formée juste après le foyer $F'$ sur le capteur. La mise au point consiste à déplacer légèrement la lentille pour placer l'image nette exactement sur le capteur.
• L'œil. Le cristallin joue le rôle d'une lentille convergente à distance focale variable : c'est l'accommodation. L'image se forme sur la rétine, réelle et renversée (le cerveau la remet à l'endroit). Une vergence trop forte ou trop faible explique la myopie et l'hypermétropie, corrigées par des lentilles de vergence bien choisie.
• La loupe. On place l'objet entre le foyer $F$ et le centre $O$ ($d < f'$). L'image est alors virtuelle, droite et agrandie : on l'observe directement à travers la lentille, agrandie et à l'endroit. C'est aussi le principe de l'oculaire d'une lunette astronomique.

La lunette astronomique combine deux lentilles convergentes : un objectif de grande distance focale forme une image intermédiaire de l'astre, qu'un oculaire (utilisé en loupe) grossit ensuite. On y retrouve exactement les deux formules de ce chapitre appliquées deux fois de suite.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et au bac, les fautes d'optique géométrique sont presque toujours des fautes de signe ou d'unité. Voici celles que nos profs traquent en priorité.

1. Oublier le signe de $\overline{OA}$. Un objet réel est avant la lentille : $\overline{OA} < 0$. Reporter une valeur positive dans la relation de conjugaison donne une image du mauvais côté. Écris toujours $\overline{OA}$ négatif pour un objet réel.
2. Additionner les distances au lieu des inverses. La relation de conjugaison porte sur $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$, $\dfrac{1}{\overline{OA}}$ et $\dfrac{1}{f'}$, pas sur les distances elles-mêmes. On ne peut pas écrire $\overline{OA'} - \overline{OA} = f'$.
3. Oublier de prendre l'inverse final. Le calcul donne d'abord $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$. La position de l'image est son inverse. S'arrêter avant cette étape, c'est répondre à côté.
4. Mélanger les unités de la vergence. $C = 1/f'$ n'est en dioptries que si $f'$ est en mètres. Une focale de $20\ \mathrm{cm}$ doit devenir $0{,}20\ \mathrm{m}$ avant de calculer $C = 5\ \delta$.
5. Confondre image réelle et image virtuelle. Réelle : $\overline{OA'} > 0$, elle se recueille sur un écran. Virtuelle : $\overline{OA'} < 0$, on la voit mais aucun écran ne la capte. Le signe de $\overline{OA'}$ tranche, la construction géométrique le confirme.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, vergence et distance focale

Énoncé. Une lentille convergente a une vergence $C = 5\ \delta$. Déterminer sa distance focale $f'$ en centimètres.

Solution. On inverse la relation $C = \dfrac{1}{f'}$ :

Résultat : $f' = 0{,}20\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{cm}$. On vérifie la cohérence : une vergence positive correspond bien à une lentille convergente ($f' > 0$).

Exercice 2, image réelle

Énoncé. Un objet $AB$ de hauteur $2{,}0\ \mathrm{cm}$ est placé à $30\ \mathrm{cm}$ devant une lentille convergente de distance focale $f' = 10\ \mathrm{cm}$. Déterminer la position $\overline{OA'}$ de l'image, le grandissement $\gamma$ et la hauteur de l'image.

Solution. L'objet est réel, placé avant la lentille : $\overline{OA} = -30\ \mathrm{cm}$, et $f' = 10\ \mathrm{cm}$. On applique la relation de conjugaison :

En prenant l'inverse, $\overline{OA'} = 15\ \mathrm{cm} > 0$ : l'image est réelle, formée $15\ \mathrm{cm}$ après la lentille. Le grandissement vaut :

Comme $\gamma < 0$, l'image est renversée ; comme $|\gamma| < 1$, elle est réduite. Sa hauteur est $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0{,}5 \times 2{,}0 = -1{,}0\ \mathrm{cm}$.

Résultat : image réelle à $15\ \mathrm{cm}$, renversée, de hauteur $1{,}0\ \mathrm{cm}$ (deux fois plus petite que l'objet).

Exercice 3, la loupe (image virtuelle)

Énoncé. On utilise une lentille de distance focale $f' = 5{,}0\ \mathrm{cm}$ comme loupe : un objet est placé à $3{,}0\ \mathrm{cm}$ devant elle. Déterminer la position et le grandissement de l'image, puis conclure sur sa nature.

Solution. L'objet est réel, donc $\overline{OA} = -3{,}0\ \mathrm{cm}$, avec $f' = 5{,}0\ \mathrm{cm}$. Comme l'objet est entre $F$ et $O$ ($3 < 5$), on attend une image virtuelle. Vérifions :

En prenant l'inverse, $\overline{OA'} = -\dfrac{15}{2} = -7{,}5\ \mathrm{cm} < 0$ : l'image est virtuelle, située du même côté que l'objet. Le grandissement vaut :

Résultat : image virtuelle, droite ($\gamma > 0$) et agrandie $2{,}5$ fois ($|\gamma| > 1$). C'est bien le comportement d'une loupe : on voit le texte agrandi et à l'endroit.

Exercice 4, objectif d'appareil photo

Énoncé. L'objectif d'un appareil photo est assimilé à une lentille convergente de distance focale $f' = 50\ \mathrm{mm}$. On photographie un objet situé à $2{,}0\ \mathrm{m}$ de l'objectif. À quelle distance de la lentille se forme l'image sur le capteur ? L'image est-elle réelle ?

Solution. On convertit tout en centimètres pour homogénéité : $f' = 5{,}0\ \mathrm{cm}$ et $\overline{OA} = -200\ \mathrm{cm}$ (objet réel). Relation de conjugaison :

En prenant l'inverse, $\overline{OA'} = \dfrac{200}{39} \approx 5{,}1\ \mathrm{cm} > 0$ : l'image est réelle, formée à environ $5{,}1\ \mathrm{cm}$ après la lentille, donc juste au-delà du foyer image $F'$ (qui est à $5{,}0\ \mathrm{cm}$). Le capteur se place à cet endroit.

Le grandissement confirme une image minuscule et renversée :

L'objet lointain donne une image réelle, très réduite et renversée, tout près du plan focal image : c'est exactement le principe de la photographie, et l'automatisme de conversion d'unités (mm en cm) que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, font travailler en priorité. Tu retrouveras ces raisonnements dans les épreuves du bac de physique-chimie, où l'optique géométrique revient régulièrement.

Ce qu'il faut retenir

• La lentille convergente : centre optique $O$, foyers $F$ et $F'$ symétriques, distance focale $f' = \overline{OF'} > 0$. Axe orienté dans le sens de la lumière, distances algébriques.
• La vergence : $C = \dfrac{1}{f'}$ en dioptries si $f'$ est en mètres. Positive pour une lentille convergente, additive pour des lentilles accolées.
• La relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$. Elle donne d'abord $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$, à inverser à la fin.
• Le grandissement : $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. Signe = sens (droite/renversée), valeur absolue = taille (agrandie/réduite).
• La construction : trois rayons particuliers (par $O$, parallèle à l'axe vers $F'$, par $F$ vers l'axe). Leur intersection donne l'image.
• La nature de l'image : objet au-delà de $F$ → réelle et renversée ; objet entre $F$ et $O$ → virtuelle, droite, agrandie (loupe).

L'optique géométrique est un chapitre très rentable au bac : les formules sont peu nombreuses et les erreurs, presque toujours des fautes de signe, s'évitent avec de la rigueur. Pour situer ce chapitre dans l'année, consulte notre panorama du programme de physique-chimie de Terminale spécialité, et travaille en parallèle le chapitre voisin sur les spectres et longueurs d'onde de la lumière.

Enfin, si tu prépares le Grand oral de physique-chimie, l'œil, l'appareil photo ou la lunette astronomique font d'excellents supports : ils partent d'un objet concret et se démontrent entièrement avec les deux formules de ce chapitre.