Ondes en prépa : équation de d'Alembert et ondes stationnaires

Une seule équation gouverne la corde de guitare, la vague, l'onde sonore et le câble coaxial : l'équation de d'Alembert. C'est le socle du chapitre sur les ondes en prépa, l'un des plus transversaux de deuxième année. Une fois qu'on a compris que ses solutions sont des ondes progressives qui se propagent sans se déformer, puis qu'on sait ce qui se passe quand une onde revient sur elle-même pour former une onde stationnaire, la quasi-totalité des exercices se résout avec les mêmes réflexes.

L'équation de d'Alembert

Une grandeur qui se propage — le déplacement transverse $y$ d'une corde, la surpression d'une onde sonore, une composante du champ électrique — vérifie souvent la même équation aux dérivées partielles, l'équation d'onde à une dimension, dite de d'Alembert :

La constante $c$, homogène à une vitesse, est la célérité de l'onde. Elle ne dépend que du milieu : pour une corde de masse linéique $\mu$ tendue par une force $T$, on montre que $c = \sqrt{T/\mu}$. L'équation est linéaire et à coefficients constants, propriété capitale : si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions, alors toute combinaison $\lambda y_1 + \mu y_2$ en est une aussi. C'est le principe de superposition, moteur de tout le chapitre.

Ce chapitre prolonge directement l'étude des ondes mécaniques et de la célérité vue au lycée : on y ajoute l'outil mathématique — les dérivées partielles — qui permet enfin d'écrire l'équation du mouvement au lieu de seulement décrire le phénomène.

Les ondes progressives : solution générale

La solution générale de l'équation de d'Alembert est remarquablement simple. Pour toutes fonctions $f$ et $g$ deux fois dérivables :

Vérifions que $y_+ = f(x - ct)$ est bien solution. En posant $u = x - ct$, la dérivation composée donne $\dfrac{\partial y_+}{\partial x} = f'(u)$ et $\dfrac{\partial y_+}{\partial t} = -c\,f'(u)$, puis en dérivant une seconde fois :

On a donc bien $\dfrac{\partial^2 y_+}{\partial x^2} = \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 y_+}{\partial t^2}$. Le même calcul avec $g(x + ct)$ marche à l'identique. Reste à interpréter physiquement chacun de ces deux termes.

• $f(x - ct)$ est une onde progressive vers les $x$ croissants. À l'instant $t + \Delta t$, le profil est le même qu'à l'instant $t$ mais décalé de $c\,\Delta t$ vers la droite : la forme se propage à la célérité $c$ sans se déformer.
• $g(x + ct)$ est une onde progressive vers les $x$ décroissants, de même célérité $c$ mais dans l'autre sens.

Ondes progressives sinusoïdales et relation de dispersion

Le cas particulier le plus important est celui d'un profil sinusoïdal. Une onde progressive sinusoïdale se propageant vers les $x$ croissants s'écrit :

où $A$ est l'amplitude, $\omega$ la pulsation et $k$ le vecteur d'onde (ou nombre d'onde). L'onde est doublement périodique : périodique dans le temps de période $T$, et périodique dans l'espace de période spatiale la longueur d'onde $\lambda$. Ces grandeurs sont reliées par :

Injectons cette solution dans l'équation de d'Alembert. Chaque dérivation seconde en $x$ fait sortir un facteur $(-k)^2 = k^2$, chaque dérivation seconde en $t$ un facteur $(-\omega)^2 = \omega^2$ :

En prenant la racine (avec $\omega > 0$ et $k > 0$), on obtient la relation de dispersion :

La vitesse de phase, vitesse à laquelle avance un point de phase donnée, vaut $v_\varphi = \dfrac{\omega}{k} = c$. Elle est la même pour toutes les fréquences : le milieu est dit non dispersif. Concrètement, une onde composée de plusieurs fréquences s'y propage sans se déformer, puisque toutes ses composantes avancent à la même vitesse $c$.

Les ondes stationnaires : nœuds et ventres

Superposons maintenant une onde incidente allant vers la droite et une onde réfléchie de même amplitude allant vers la gauche. Par le principe de superposition, la solution est la somme des deux. Prenons l'incidente $A\cos(\omega t - kx)$ et la réfléchie $A\cos(\omega t + kx)$ :

La formule de somme $\cos p + \cos q = 2\cos\!\frac{p+q}{2}\cos\!\frac{p-q}{2}$ transforme cette expression en un produit où l'espace et le temps se séparent :

C'est une onde stationnaire. Elle ne se propage plus : chaque point $x$ vibre sur place à la pulsation $\omega$, avec une amplitude $\lvert 2A\cos(kx)\rvert$ qui dépend de la position. Deux types de points se distinguent :

• Les nœuds de vibration, où l'amplitude est nulle en permanence : $\cos(kx) = 0$, soit $kx = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Le point reste immobile.
• Les ventres, où l'amplitude est maximale ($2A$) : $\cos(kx) = \pm 1$, soit $kx = n\pi$. Le point oscille avec l'amplitude la plus grande.

La distance entre deux nœuds consécutifs (ou deux ventres consécutifs) vaut $\dfrac{\lambda}{2}$, et un ventre est toujours à mi-chemin entre deux nœuds, à $\dfrac{\lambda}{4}$ de chacun.

Corde de Melde : modes propres et quantification

Considérons une corde de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités, le dispositif de la corde de Melde (et de toute corde de guitare). Les points $x = 0$ et $x = L$ sont maintenus immobiles : ce sont des conditions aux limites imposées à la solution stationnaire $y(x,t) = B\sin(kx)\cos(\omega t)$, forme équivalente à la précédente et automatiquement nulle en $x = 0$.

La condition à l'autre extrémité, $y(L,t) = 0$ à tout instant, impose $\sin(kL) = 0$, c'est-à-dire :

Seules certaines valeurs du vecteur d'onde sont donc autorisées, donc certaines longueurs d'onde $\lambda_n = \dfrac{2\pi}{k_n} = \dfrac{2L}{n}$, et via la relation de dispersion $\omega_n = c\,k_n$, certaines fréquences. En posant $f_n = \dfrac{\omega_n}{2\pi}$ :

Chaque entier $n$ définit un mode propre de la corde. Les fréquences ne prennent qu'une suite discrète de valeurs : elles sont quantifiées. Le mode $n = 1$, de plus basse fréquence $f_1 = \dfrac{c}{2L}$, est le fondamental ; les modes suivants $f_n = n\,f_1$ sont ses harmoniques.

La réflexion à une extrémité fixe

D'où vient l'onde réfléchie qui, superposée à l'incidente, crée la stationnaire ? De la réflexion sur l'extrémité fixe. En $x = 0$, la corde est attachée : quelle que soit l'onde incidente $y_i = A\cos(\omega t - kx)$, le déplacement total y est nul à chaque instant. On cherche donc une onde réfléchie $y_r$ (repartant en sens inverse) telle que $y_i + y_r = 0$ en $x = 0$.

En posant $y_r = A'\cos(\omega t + kx)$, la condition $y_i(0,t) + y_r(0,t) = 0$ donne $A + A' = 0$, soit $A' = -A$. L'onde réfléchie est donc de même amplitude et en opposition de phase :

Le coefficient de réflexion en amplitude vaut $r = A'/A = -1$ : l'onde est intégralement renvoyée, avec un déphasage de $\pi$. C'est ce changement de signe qui garantit un nœud à l'extrémité fixe. La superposition $y_i + y_r$ redonne exactement la forme stationnaire $2A\sin(kx)\sin(\omega t)$, nulle en $x = 0$ comme attendu.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et en colle, les mêmes fautes reviennent chaque année sur les ondes. Les repérer, c'est déjà sécuriser des points.

1. Confondre onde progressive et onde stationnaire. Une progressive est fonction de l'argument $\omega t \pm kx$ et se propage ; une stationnaire est un produit $g(x)h(t)$ à variables séparées et vibre sur place. La forme de l'expression suffit à trancher.
2. Se tromper de sens avec le signe de $kx$. $\cos(\omega t - kx)$ va vers les $x$ croissants, $\cos(\omega t + kx)$ vers les $x$ décroissants. En cas de doute, suis un point de phase constante : c'est le raisonnement, pas une formule à mémoriser.
3. Croire que la quantification vient de l'équation d'onde. L'équation de d'Alembert accepte toutes les fréquences. Ce sont les conditions aux limites (extrémités fixées) qui sélectionnent les modes propres $f_n = n\,c/2L$.
4. Confondre nœud et ventre. Un nœud est un point d'amplitude nulle ($\cos kx = 0$) ; un ventre, un point d'amplitude maximale ($\cos kx = \pm 1$). Une extrémité fixe est un nœud, une extrémité libre un ventre.
5. Oublier le déphasage de $\pi$ à la réflexion sur un point fixe. L'onde réfléchie sur une extrémité fixe est en opposition de phase ($r = -1$). Sans ce signe, la condition de nœud à l'extrémité n'est pas vérifiée et toute la suite est fausse.

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, vérifier une solution et lire ses paramètres

Énoncé. Une onde se propage sur une corde selon $y(x,t) = 3{,}0 \times 10^{-3}\,\cos\!\left(400\,t - 8{,}0\,x\right)$ (unités SI). Montrer qu'elle vérifie l'équation de d'Alembert, déterminer sa célérité $c$, sa fréquence $f$ et sa longueur d'onde $\lambda$.

Solution. On identifie $\omega = 400$ rad·s⁻¹ et $k = 8{,}0$ rad·m⁻¹. En dérivant deux fois, $\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -k^2 y$ et $\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -\omega^2 y$. L'équation $\partial^2_x y = \frac{1}{c^2}\partial^2_t y$ est vérifiée à condition que $-k^2 = -\omega^2/c^2$, ce qui donne la relation de dispersion $\omega = ck$. La célérité vaut donc :

Puis $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{400}{2\pi} \approx 64$ Hz, et $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{8{,}0} \approx 0{,}79$ m. On vérifie la cohérence par $\lambda f = c$ : $0{,}79 \times 64 \approx 50$ m·s⁻¹.

Résultat : $c = 50$ m·s⁻¹, $f \approx 64$ Hz, $\lambda \approx 0{,}79$ m. Le signe $\omega t - kx$ indique une propagation vers les $x$ croissants.

Exercice 2, onde stationnaire par superposition

Énoncé. On superpose deux ondes de même amplitude $A$ et de même pulsation, $y_1 = A\cos(\omega t - kx)$ et $y_2 = A\cos(\omega t + kx)$. Établir l'expression de $y = y_1 + y_2$, puis déterminer la position des nœuds pour $\lambda = 0{,}40$ m.

Solution. On applique $\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ avec $p = \omega t - kx$ et $q = \omega t + kx$. Alors $\frac{p+q}{2} = \omega t$ et $\frac{p-q}{2} = -kx$, d'où, en utilisant la parité du cosinus :

C'est une onde stationnaire. Les nœuds sont les points d'amplitude nulle, donc $\cos(kx) = 0$, soit $kx = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Comme $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$, on obtient :

Résultat : $y = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$ ; nœuds en $x = 0{,}10$ m, $0{,}30$ m, $0{,}50$ m… espacés de $\lambda/2 = 0{,}20$ m, avec un ventre à mi-chemin entre deux nœuds.

Exercice 3, modes propres d'une corde de Melde

Énoncé. Une corde de guitare de longueur $L = 0{,}65$ m, fixée à ses deux extrémités, a une masse linéique $\mu = 5{,}0 \times 10^{-3}$ kg·m⁻¹ et est tendue par une tension $T = 80$ N. Calculer la célérité des ondes, la fréquence du fondamental et celle du troisième harmonique.

Solution. La célérité sur la corde vaut $c = \sqrt{T/\mu}$ :

Les deux extrémités fixées imposent des nœuds : les fréquences sont quantifiées, $f_n = n\,\dfrac{c}{2L}$. Le fondamental correspond à $n = 1$ :

Le troisième harmonique est $f_3 = 3\,f_1 \approx 3 \times 97 \approx 2{,}9 \times 10^{2}$ Hz. La corde vibre alors avec 4 nœuds (dont les deux extrémités) et 3 ventres.

Ce fil conducteur — poser l'équation d'onde, injecter une sinusoïde, appliquer les conditions aux limites — est exactement le réflexe que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, entraînent en priorité : il structure aussi bien le programme de PSI que celui de MP, et se retrouve à l'identique en acoustique, en électromagnétisme et sur les lignes électriques.

Ce qu'il faut retenir

• L'équation de d'Alembert : $\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}$, linéaire, donc superposition possible ; $c$ est la célérité, fixée par le milieu.
• Solution générale : $y = f(x - ct) + g(x + ct)$, somme d'une onde vers les $x$ croissants et d'une onde vers les $x$ décroissants, se propageant sans déformation.
• Onde sinusoïdale : $y = A\cos(\omega t - kx)$, avec $\omega = 2\pi/T$, $k = 2\pi/\lambda$ et la relation de dispersion $\omega = ck$. Milieu non dispersif : $v_\varphi = \omega/k = c$.
• Onde stationnaire : $y = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$, variables séparées ; nœuds (amplitude nulle) et ventres (amplitude maximale) espacés de $\lambda/2$.
• Corde de Melde : deux extrémités fixées $\Rightarrow$ modes propres quantifiés $f_n = n\,\dfrac{c}{2L}$, fondamental $f_1$ et harmoniques $f_n = n f_1$.
• Réflexion : extrémité fixe $\Rightarrow$ nœud ($r = -1$, opposition de phase) ; extrémité libre $\Rightarrow$ ventre ($r = +1$).

Les ondes sont l'un des chapitres les plus rentables de deuxième année : la même équation gouverne cordes, sons, câbles et ondes électromagnétiques. Pour organiser tes révisions autour de ces gros chapitres transversaux, appuie-toi sur notre méthode pour réviser efficacement en prépa.

Et si tu veux situer ce chapitre dans la logique globale de la Spé et prendre les bons réflexes de travail dès le début d'année, consulte notre guide pour réussir sa prépa.