Annales sur Calcul différentiel, fonctions de plusieurs variables

Calcul différentiel

Au programme

Le calcul différentiel en spé couvre les fonctions de plusieurs variables, les dérivées partielles, la différentielle, le gradient, les fonctions de classe C¹, et les extremums (conditions du premier ordre, hessienne en MP). Programme commun MP, PC, PSI. La MP va plus loin sur les notions d'inversion locale et de difféomorphisme.

Pourquoi c'est testé

29 sujets de concours dans notre base portent sur le calcul différentiel. Présent en Maths 2 Mines-Ponts MP, Maths X-ENS PSI, Maths 1 et 2 Centrale-Supélec. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• Inversibilité de dF_X confondue avec inversibilité de X (jury Maths 2 Mines-Ponts MP 2018 : « L'inversibilité de dF_X a posé des problèmes à beaucoup : certains l'ont confondue avec l'inversibilité de la matrice dF_X(H). La plupart ont donné la condition correcte (X et −X n'ont aucune valeur propre en commun), mais nombreux sont ceux qui ont écrit qu'elle équivaut à X inversible, alors que la matrice diag(1, −1) est un contre-exemple flagrant à la réciproque »)
• Théorème spectral mal appliqué : oubli de la base orthonormée (jury Maths 2 Mines-Ponts MP 2018 : « il est nécessaire de diagonaliser A dans une base orthonormée, autrement dit avec une matrice de passage orthogonale »)
• Arguments flous pour le caractère borné (jury Maths X-ENS PSI 2025 : « Les arguments ont souvent été flous pour montrer le caractère borné »)
• Calculs sans justification : alpha-convexe ⇒ convexe affirmé sans preuve (jury Maths X-ENS PSI 2025 : « Des copies avec des calculs sans aucune justification notamment le fait que alpha-convexe implique convexe. La question n'a été que très rarement bien traitée »)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Maîtriser le formalisme : différentielle au point, application linéaire tangente, matrice jacobienne, gradient. Ne pas confondre les objets. 2. Vérifier la régularité avant tout théorème (C¹, C², inversion locale). 3. Travailler les sujets de référence : Maths 2 Mines-Ponts MP 2018 (différentielle et réduction), Maths X-ENS PSI 2025 (convexité).