Top piège du sujet
Théorème des bornes atteintes invoqué sans vérifier les hypothèses (Q4)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.98
Médiane
8.8
Écart-type
4.23
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
5 035
sur 5 334 inscrits · 5.6% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +2.5 par rapport à 2020 (8.98 vs 6.48). Écart-type stable (σ=4.23). Sujet plus accessible que la session précédente.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet propose une démonstration de la loi du demi-cercle sur la répartition des valeurs propres de matrices symétriques aléatoires de grande taille. Il est découpé en quatre parties portant sur des thèmes variés du programme : inégalité de Hoffman-Wielandt, dénombrement des mots bien parenthésés, loi du demi-cercle dans le cas borné puis dans le cas général.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Inégalité de Hoffman-Wielandt(Q1-Q9)Niveau attendu
Démonstration utilisant l'algèbre bilinéaire et le théorème des bornes atteintes ; cette partie permet de contrôler les différences entre valeurs propres de A et B par la norme de Frobenius.
- Partie II — Dénombrement des mots bien parenthésés(Q10-Q16)Difficile
Comptage des mots bien parenthésés de taille 2n via la fonction génératrice : porte donc sur les séries entières. Certaines questions élémentaires, d'autres plus délicates.
- Partie III — Loi du demi-cercle, cas uniformément borné(Q17-Q30)Difficile
Calcul intégral, lien entre mots bien parenthésés et cycles de longueur k dans ⟦1,n⟧, puis questions assez délicates de probabilités et de dénombrement.
- Partie IV — Loi du demi-cercle, cas général(Q31-fin)Très difficile
Probabilités et analyse fines pour étendre le résultat à n'importe quelle fonction continue et bornée. Sérieusement abordée seulement dans les toutes meilleures copies.
Analyse globale du jury
« Les parties I et II sont abordées dans la quasi totalité des copies. Il en est de même pour la sous-partie III.A. La fin de la partie III et surtout la partie IV ne sont sérieusement abordées que dans les toutes meilleures copies. Un malus a été appliqué à certaines copies particulièrement mal écrites, mal présentées ou lorsque les calculs et raisonnements s'enchainent sans qu'on puisse clairement différencier la fin d'une question et le début de la suivante. Le sujet est très long, la fin comporte des questions très difficiles ; les réponses aux 25 premières questions constituent déjà une très bonne copie. »
Top pièges sanctionnés
Théorème des bornes atteintes invoqué sans vérifier les hypothèses (Q4)-2 pts
« Certains candidats pensent qu'il suffit de montrer que f est minorée pour conclure qu'elle admet un minimum. Heureusement, les trois quarts des candidats pensent au théorème des bornes atteintes et en vérifient les hypothèses. »
Récurrences mal justifiées et règle de d'Alembert utilisée sans précaution (Q10)-2 pts
« Les démonstrations par récurrence rencontrées ont rarement permis de conclure correctement dans la mesure où elles utilisent des inégalités non justifiées entre Cₙ₊₁ et Cₙ. Rappelons ici qu'une majoration de Cₙ pour tout n ne peut pas conduire à une majoration de Cₙ₊₁/Cₙ et que la règle de d'Alembert n'est pas une condition nécessaire et suffisante de convergence. »
Calcul intégral fragile en début de partie III (changement de variable, primitives)-2 pts
« Les trois premières questions de cette partie, qui sont aussi les dernières questions traitées par la majorité des candidats, ont révélé une maitrise insuffisante des techniques de base du calcul intégral : pas de modification des bornes lors d'un changement de variable, primitives ou dérivées fausses pour l'intégration par parties. »
Paraphrase de l'énoncé tenue pour preuve (Q36 : ~10 succès sur 500 tentatives)-2 pts
« Par exemple, la question Q36, abordée par environ 500 candidats, n'a été réussie que par une dizaine d'entre eux ; une paraphrase de l'énoncé ne constituant pas une preuve. »
Stone-Weierstrass invoqué sur ℝ entier (théorème valable seulement sur un segment)-1 pts
« Contrairement à ce que nous avons pu lire dans certaines copies, le théorème de Stone-Weierstrass n'est valable que sur un segment. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2021 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths I Centrale-Supélec MP 2021 s'est déroulée fin avril 2021, en 4 heures, coefficient 19. Première session « normale » après la session 2020 perturbée par la pandémie : le concours s'est tenu dans le respect des contraintes sanitaires, avec plus de 14 000 candidats sur près de 100 sites.
Le sujet propose une démonstration de la loi du demi-cercle sur la répartition des valeurs propres de matrices symétriques aléatoires de grande taille, un résultat fondamental de la théorie des matrices aléatoires. Quatre parties : inégalité de Hoffman-Wielandt, dénombrement des mots bien parenthésés via fonction génératrice, loi du demi-cercle (cas borné puis général). Le sujet brasse algèbre bilinéaire, séries entières, calcul intégral et probabilités.
La moyenne brute s'établit à 8.98/20, écart-type 4.23. Médiane 8.8, premier quartile 6.0, troisième quartile 12.0. Sur 5 334 inscrits, 5 035 candidats présents (5.6 % d'absents). Le jury note que « les réponses aux 25 premières questions constituent déjà une très bonne copie » : la dispersion vient surtout de la partie IV très peu abordée.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2021 est explicite : « le sujet est très long », la partie IV est réservée aux meilleures copies. Stratégie clé : capitaliser sur les 25 premières questions (parties I, II et début III.A) avec une rédaction propre, c'est ce qui constitue déjà une « très bonne copie ». Tenter la fin sans avoir solidifié le début est contre-productif.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur la partie I (Q1-Q9, Hoffman-Wielandt) et la partie II (Q10-Q16, mots bien parenthésés). La partie III.A est aussi abordable. Soigne particulièrement les hypothèses du théorème des bornes atteintes (Q4) et les récurrences sur Cₙ, c'est là que les copies moyennes perdent des points.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter la partie III complète (lien mots bien parenthésés ↔ cycles, dénombrement combinatoire) et entamer la partie IV (extension du résultat aux fonctions continues bornées). Attention : Stone-Weierstrass uniquement sur un segment. Sur Q36 (500 tentatives, 10 succès), préfère sauter plutôt que paraphraser.
Gestion des 4h : 1h sur la partie I (Hoffman-Wielandt, Q1-Q9), 50 min sur la partie II (Q10-Q16), 1h15 sur la partie III (Q17-Q30, calcul intégral et probabilités combinatoires), 45 min sur la partie IV uniquement si les précédentes sont propres, 10 min de relecture. Sacrifie la partie IV plutôt que la rédaction des parties précédentes : le jury applique des malus systématiques sur les copies « particulièrement mal écrites, mal présentées » ou avec des questions mal délimitées.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Ne pas se précipiter : prendre le temps de donner tous les arguments nécessaires et de calculer avec précision plutôt que d'enchaîner les questions superficiellement.
- Prendre du recul sur les résultats et vérifier qu'ils ne sont pas incohérents avec les résultats ultérieurs (ex : la réponse à Q17 est dans Q20).
- Référencer les résultats utilisés dans une question ultérieure, dérouler complètement les calculs et ne pas énoncer directement un résultat sans justification.
- Ne pas redémontrer un résultat du cours non demandé : tr(AB)=tr(BA) ou le développement en série entière de (1+u)^a peuvent être utilisés directement.
- Préférer une réponse partielle annoncée comme telle à une réponse prétendument complète mais où il manque des arguments. Pour Q4 : mentionner explicitement le théorème des bornes atteintes avec ses hypothèses précises rapporte une partie des points.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ