Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.98
Médiane
8.8
Écart-type
4.23
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
5 035
sur 5 334 inscrits · 5.6% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet propose une démonstration de la loi du demi-cercle sur la répartition des valeurs propres de matrices symétriques aléatoires de grande taille. Il est découpé en quatre parties portant sur des thèmes variés du programme : inégalité de Hoffman-Wielandt, dénombrement des mots bien parenthésés, loi du demi-cercle dans le cas borné puis dans le cas général.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Inégalité de Hoffman-Wielandt(Q1-Q9)Niveau attendu
Démonstration utilisant l'algèbre bilinéaire et le théorème des bornes atteintes ; cette partie permet de contrôler les différences entre valeurs propres de A et B par la norme de Frobenius.
- Partie II — Dénombrement des mots bien parenthésés(Q10-Q16)Difficile
Comptage des mots bien parenthésés de taille 2n via la fonction génératrice : porte donc sur les séries entières. Certaines questions élémentaires, d'autres plus délicates.
- Partie III — Loi du demi-cercle, cas uniformément borné(Q17-Q30)Difficile
Calcul intégral, lien entre mots bien parenthésés et cycles de longueur k dans ⟦1,n⟧, puis questions assez délicates de probabilités et de dénombrement.
- Partie IV — Loi du demi-cercle, cas général(Q31-fin)Très difficile
Probabilités et analyse fines pour étendre le résultat à n'importe quelle fonction continue et bornée. Sérieusement abordée seulement dans les toutes meilleures copies.
Analyse globale du jury
« Les parties I et II sont abordées dans la quasi totalité des copies. Il en est de même pour la sous-partie III.A. La fin de la partie III et surtout la partie IV ne sont sérieusement abordées que dans les toutes meilleures copies. Un malus a été appliqué à certaines copies particulièrement mal écrites, mal présentées ou lorsque les calculs et raisonnements s'enchainent sans qu'on puisse clairement différencier la fin d'une question et le début de la suivante. Le sujet est très long, la fin comporte des questions très difficiles ; les réponses aux 25 premières questions constituent déjà une très bonne copie. »
Top pièges sanctionnés
Théorème des bornes atteintes invoqué sans vérifier les hypothèses (Q4)-2 pts
« Certains candidats pensent qu'il suffit de montrer que f est minorée pour conclure qu'elle admet un minimum. Heureusement, les trois quarts des candidats pensent au théorème des bornes atteintes et en vérifient les hypothèses. »
Récurrences mal justifiées et règle de d'Alembert utilisée sans précaution (Q10)-2 pts
« Les démonstrations par récurrence rencontrées ont rarement permis de conclure correctement dans la mesure où elles utilisent des inégalités non justifiées entre Cₙ₊₁ et Cₙ. Rappelons ici qu'une majoration de Cₙ pour tout n ne peut pas conduire à une majoration de Cₙ₊₁/Cₙ et que la règle de d'Alembert n'est pas une condition nécessaire et suffisante de convergence. »
Calcul intégral fragile en début de partie III (changement de variable, primitives)-2 pts
« Les trois premières questions de cette partie, qui sont aussi les dernières questions traitées par la majorité des candidats, ont révélé une maitrise insuffisante des techniques de base du calcul intégral : pas de modification des bornes lors d'un changement de variable, primitives ou dérivées fausses pour l'intégration par parties. »
Paraphrase de l'énoncé tenue pour preuve (Q36 : ~10 succès sur 500 tentatives)-2 pts
« Par exemple, la question Q36, abordée par environ 500 candidats, n'a été réussie que par une dizaine d'entre eux ; une paraphrase de l'énoncé ne constituant pas une preuve. »
Stone-Weierstrass invoqué sur ℝ entier (théorème valable seulement sur un segment)-1 pts
« Contrairement à ce que nous avons pu lire dans certaines copies, le théorème de Stone-Weierstrass n'est valable que sur un segment. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2021 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
