Top piège du sujet
Récurrence double mal comprise dans Q1 (initialisation et hérédité incomplètes)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.03
Médiane
8.7
Écart-type
4.19
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
4 917
sur 5 334 inscrits · 7.8% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +2.45 par rapport à 2020 (9.03 vs 6.58). Écart-type stable (σ=4.19). Sujet plus accessible que la session précédente.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet porte sur les inégalités de Bernstein. Elles sont étudiées sous deux formes : l'inégalité de Bernstein sur les polynômes trigonométriques dans la partie I, et une seconde version sur certaines fonctions de ℝ dans ℂ « localisées en fréquence » dans la partie II via la transformée de Fourier.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Inégalité de Bernstein, polynômes trigonométriques et de Tchebychev(Q1-Q19)Niveau attendu
Formule d'interpolation de Riesz exprimant la dérivée d'un polynôme trigonométrique en fonction d'un nombre fini de valeurs. En application : inégalité de Markov ‖P'‖ ⩽ (deg P)² ‖P‖ pour tout polynôme algébrique.
- Partie II — Transformée de Fourier et convolution(Q20-Q34)Difficile
Propriétés de la transformée de Fourier vis-à-vis de la convolution, théorème de continuité sous le signe intégrale, dérivation d'intégrale à paramètre.
Analyse globale du jury
« Le sujet est assez long pour couvrir un large spectre des points de la partie « analyse » du programme. Bien que les deux parties soient indépendantes et de longueurs équivalentes, la seconde partie a été beaucoup moins traitée. La première sous-partie (polynômes de Tchebychev) a été globalement bien réussie. Les autres sous-parties comprennent essentiellement des blocs quasi-indépendants de questions abordables même si certaines questions étaient difficiles (Q14, Q27) voire très difficiles (Q30). Signalons également que les notes d'un nombre trop important de copies (environ un dixième) ont subi un malus de présentation. »
Top pièges sanctionnés
Récurrence double mal comprise dans Q1 (initialisation et hérédité incomplètes)-1 pts
« La nécessité d'invoquer un argument par récurrence double (ou forte) est parfois mal comprise. Une rédaction nette est attendue : explicitation du type de récurrence, hypothèse H(n), initialisation, et preuve de l'hérédité. »
Confusion entre f̂(λξ+μξ′) et la définition correcte de la linéarité de la transformée de Fourier (Q21)-2 pts
« Certains candidats confondent une application f : ℝ → ℂ et le nombre complexe f(x). Ainsi, la preuve de la linéarité de la transformée de Fourier a donné lieu à des calculs étranges (comme f̂(λξ+μξ′) = λf̂(ξ) + μf̂(ξ′)). »
Domination du théorème de continuité sous l'intégrale (Q20), majoration de complexes incorrecte-2 pts
« Trop de candidats écrivent |f(x)e^(-ixξ)| ⩽ f(x)e^(-ixa) en ayant pris un nombre ξ dans [a,b] préalablement. Cela n'a pas de sens car ce n'est pas un nombre strictement positif. À propos, majorer les nombres complexes directement (par exemple e^(-ixξ) ⩽ 1) n'a pas de sens et il faut passer par le module. »
Théorème de convergence dominée invoqué à tort à la place de la continuité d'intégrales à paramètre (Q25)-1 pts
« Beaucoup de copies utilisent la dénomination « théorème de la convergence dominée » pour évoquer le théorème de continuité ou régularité 𝒞^k sous le signe ∫. S'il est vrai que le théorème de la convergence dominée est l'ingrédient principal des théorèmes concernant les intégrales à paramètres, il est préférable d'utiliser la bonne dénomination. »
Factorisation de polynômes simples ratée (racines 2n-ièmes de -1, Q9)-1 pts
« Le jury a été un peu déçu par certaines rédactions car la factorisation de polynômes simples doit faire partie des compétences attendues. Les racines 2n-ièmes de -1 sont les racines du polynôme X^(2n)+1 et non celles du polynôme X^(2n)-1. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2021 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec MP 2021 s'est déroulée fin avril 2021, en 4 heures, coefficient 19. Sujet « clairement marqué analyse » selon le jury, balayant un large spectre du programme : polynômes, intégrales à paramètres, séries de fonctions, transformée de Fourier.
Le fil conducteur est l'inégalité de Bernstein sous deux formes : sur les polynômes trigonométriques dans la partie I (avec en application l'inégalité de Markov ‖P'‖ ⩽ (deg P)² ‖P‖), puis sur certaines fonctions de ℝ dans ℂ « localisées en fréquence » dans la partie II via les propriétés de la transformée de Fourier vis-à-vis de la convolution.
La moyenne brute s'établit à 9.03/20, écart-type 4.19. Médiane 8.7, premier quartile 6.0, troisième quartile 12.0. Sur 5 334 inscrits, 4 917 candidats présents (7.8 % d'absents). Le jury note qu'« un nombre trop important de copies (environ un dixième) ont subi un malus de présentation », la partie II a été beaucoup moins traitée que la partie I.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Les deux parties sont indépendantes et de longueurs équivalentes, mais la partie I est largement plus accessible, la première sous-partie (polynômes de Tchebychev) a été « globalement bien réussie ». Le jury insiste : les sous-parties sont quasi-indépendantes, donc grappiller des points sur Q20-Q26 (transformée de Fourier) reste possible même sans avoir tout traité en partie I.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur la partie I.A (polynômes de Tchebychev, Q1-Q5) : récurrence double rigoureuse, calcul de ‖T_n‖, formule trigonométrique demandée à Q5. Puis Q7, Q8, Q9, Q10, Q11 et le début de la partie II (Q20-Q23 : continuité sous ∫). Évite les Q14, Q17, Q18 qui sont des questions difficiles.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter Q14 (formule -2n² = ∑ 2ω_k/(1-ω_k)²), Q16 (polynôme trigonométrique de degré ⩽ n), Q27 (régularité 𝒞^k de φ par prolongement). Sur Q30 (~200 succès) et Q33-Q34 (~100 succès), le jury valorise les représentations graphiques et les preuves formelles « pourvu que toutes les intégrales convergent ».
Gestion des 4h : 1h45 sur la partie I (Q1-Q19, polynômes trigonométriques + de Tchebychev), 30 min de pause stratégique pour relire l'énoncé de la partie II avant d'attaquer, 1h30 sur la partie II (Q20-Q34, transformée de Fourier), 15 min de relecture. Indispensable : passer par le module dans les majorations sur ℂ ; ne pas écrire |f(x)e^(-ixξ)| ⩽ f(x)e^(-ixa). Et tracer les allures de courbes demandées explicitement par le jury sur Q29-Q30.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Rédiger les récurrences proprement : type de récurrence (simple/double/forte), hypothèse H(n) explicite, initialisation, hérédité. Le jury attend une « rédaction nette » dès Q1.
- Distinguer une fonction f de la valeur f(x) : la transformée de Fourier est linéaire sur des fonctions, pas sur des valeurs ponctuelles. Pas de f̂(λξ+μξ′) = λf̂(ξ) + μf̂(ξ′).
- Passer par le module avant de majorer en complexes : majorer |e^(iθ)| n'a de sens que via |e^(iθ)| = 1, pas en majorant des nombres complexes directement.
- Utiliser la bonne dénomination des théorèmes : « théorème de continuité d'intégrale à paramètre » ≠ « théorème de convergence dominée ». Vérifier les hypothèses : intégrabilité des dérivées intermédiaires souvent oubliée.
- Tracer des allures de courbes même non demandées : le jury a valorisé les tentatives de représentations graphiques sur Q29-Q30, et lire une question intégralement (avec ses indications) avant d'attaquer.
Ressources
Téléchargements
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