Top piège du sujet
Propriétés du rang non maîtrisées
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.26
Médiane
9.1
Écart-type
4.14
Q1 (25%)
6.4
Q3 (75%)
12.1
Candidats présents
4 193
sur 4 365 inscrits · 3.9% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.25 par rapport à 2022 (9.26 vs 9.01). Écart-type stable (σ=4.14).
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude des endomorphismes de M_n(ℝ) qui conservent le rang, le déterminant, la trace ou le polynôme caractéristique. Cinq parties : démonstration de résultats du cours de PSI, propriétés de certains endomorphismes de M_n(ℝ), équivalence des matrices de même rang à J_(n,r), détermination des endomorphismes conservant le rang, puis ceux conservant le déterminant ou le polynôme caractéristique.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Démonstration de résultats du cours de PSIDifficile
N'a pas été réussie dans l'ensemble. Q1 : formule de changement de base évoquée vaguement par certains.
- Partie II — Endomorphismes Γ_A : M ↦ AM (ou AMA)Niveau attendu
Bien mieux réussie. Confusions Γ = Γ_A ou Γ_A = Γ_A(M) dans de nombreuses copies.
- Partie III — Équivalence des matrices à J_(n,r)Difficile
Abordée mais avec moins de réussite. Q25 difficile, toute tentative cohérente valorisée. ker(f) et Im(f) ne sont pas toujours en somme directe.
- Partie IV — Endomorphismes conservant le rangDifficile
Premières questions bien traitées, fin (plus technique) peu abordée.
- Partie V — Endomorphismes conservant le déterminant ou le polynôme caractéristiqueTrès difficile
Très peu abordée, manque de temps. Q45 (linéarité de la trace), Q46 (produit scalaire de M_n).
Analyse globale du jury
« Le sujet était plutôt long mais de nombreux thèmes d'algèbre linéaire étaient utilisés et tous les candidats ont ainsi pu traiter de multiples questions et mettre en évidence leurs compétences. De nombreux candidats ont su montrer leur maîtrise du langage mathématique. Les correcteurs ont toutefois constaté cette année dans trop de copies une maîtrise trop approximative de la rédaction (logique, double implication, récurrence). »
Top pièges sanctionnés
Propriétés du rang non maîtrisées-2 pts
« Les propriétés du rang ne sont pas toujours bien connues. En particulier, le rang n'est pas linéaire. De même, il n'y a pas d'égalité dans le cas général entre rg(AB) et min(rg(A), rg(B)), ni non plus entre rg(AB) et rg(A) × rg(B). »
Déterminant comme application linéaire (faux)-2 pts
« Les propriétés du déterminant ne sont pas toujours bien maîtrisées : rappelons que le déterminant n'est pas une application linéaire, et que ce n'est pas une application injective ! »
M_n(ℝ) non intègre-1 pts
« L'ensemble M_n(ℝ) n'est pas intègre : cela signifie que si A et B sont deux matrices, le produit AB peut être nul alors que A ≠ 0 et B ≠ 0. »
Vecteur propre non nul oublié (Q4)-2 pts
« Dans la question 4, lorsqu'on donne la définition d'un vecteur propre, il ne faut pas oublier d'écrire que celui-ci doit être non-nul. »
Diagonalisable ⟺ χ_A SRS (faux énoncé) (Q10)-2 pts
« Dans la question 10, on constate que les théorèmes du cours relatifs à la diagonalisabilité d'une matrice ne sont pas toujours bien connus. En particulier, le résultat qui prétend que « A est diagonalisable si et seulement si χ_A est scindé et à racines simples », est faux ! »
Tr(AB) ≥ 0 ?, positivité du produit scalaire (Q46)-2 pts
« Dans la question 46 […] les 4 points de la définition d'un produit scalaire n'ont parfois pas été démontrés correctement. En particulier, la positivité du produit scalaire ne signifie pas que Tr(AB) ≥ 0 pour toutes les matrices A et B. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PSI, session 2023 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths I Centrale-Supélec PSI 2023 s'est déroulée début mai 2023, en 4 heures, coefficient 15. 4193 candidats présents pour 4365 inscrits (3.9% d'absents).
Sujet d'algèbre linéaire en cinq parties autour des endomorphismes de M_n(ℝ) qui conservent le rang, le déterminant, la trace ou le polynôme caractéristique. Démonstration de résultats du cours PSI, propriétés de Γ_A : M ↦ AM (ou AMA), équivalence des matrices de même rang à J_(n,r), détermination progressive des endomorphismes conservant chaque invariant.
La moyenne brute s'est établie à 9.26/20, écart-type 4.14. Médiane 9.1, premier quartile 6.4, troisième quartile 12.1. La partie I (cours PSI) n'a pas été réussie dans l'ensemble, alors que la partie II (Γ_A) a été bien mieux traitée.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2023 souligne « une maîtrise trop approximative de la rédaction (logique, double implication, récurrence) ». Stratégie clé : commencer par la partie II (mieux réussie) et revenir sur la partie I, en soignant les définitions de base (vecteur propre non nul, diagonalisabilité, produit scalaire avec ses 4 axiomes).
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur la partie II (Γ_A : propriétés des endomorphismes M ↦ AM ou AMA). Q4 : vecteur propre = AX = λX et X ≠ 0. Q10 : diagonalisable ⟸ χ_A scindé à racines simples (la réciproque est fausse, un sens seulement). M_n(ℝ) n'est pas intègre.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter la partie III (équivalence à J_(n,r)) et débuter la partie IV (endomorphismes conservant le rang). Q25 difficile, toute tentative cohérente est valorisée. Q46 : positivité du produit scalaire sur M_n(ℝ) demande Tr(A^t A) ≥ 0 (et non Tr(AB) ≥ 0).
Gestion des 4h : 30 min sur la partie I (cours PSI, démonstrations rigoureuses des théorèmes), 1h sur la partie II (Γ_A), 1h sur la partie III (équivalence), 1h sur la partie IV (rang), 30 min sur la partie V (déterminant, polynôme car., Q45-Q46). Soigner la rédaction logique : double implication, récurrence, sens des inclusions. Brouillon avant rédaction.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Vecteur propre non nul : la condition X ≠ 0 doit toujours être écrite. Sanctionné systématiquement.
- Diagonalisabilité ⟺ χ_A scindé à racines simples est FAUX : un sens seulement. Une matrice peut être diagonalisable avec χ_A non scindé à racines simples (ex : matrice scalaire).
- Le rang n'est pas linéaire, le déterminant n'est pas linéaire ni injectif. Pas d'égalité entre rg(AB) et min(rg(A), rg(B)) en général.
- Positivité du produit scalaire sur M_n(ℝ) : Tr(A^t A) ≥ 0 (et non Tr(AB) ≥ 0 pour toutes A, B).
- Soigner la rédaction logique : double implication explicite, récurrences avec hypothèse claire (sans quantificateur universel).
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ