Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.01
Médiane
8.9
Écart-type
4.13
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
4 138
sur 4 353 inscrits · 4.9% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration d'un résultat de géométrie dans un espace euclidien — résultats intermédiaires sur matrices nilpotentes et variables aléatoires discrètes. Quatre parties largement indépendantes : propriétés des matrices nilpotentes, propriétés algébriques des matrices colonnes ne comportant que des 1 et −1 puis loi de probabilité sur {−1, 1} (variables de Rademacher), programmation Python, et preuve du résultat de géométrie visé.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Propriétés des matrices nilpotentes(Q1-Q12)Niveau attendu
Trace, déterminant, manipulation de matrices et puissances. Q1 trace linéaire (rédaction insuffisante), Q2 produit scalaire (positivité tr(AᵀB)≥0). Q4 unicité valeur propre 0. Q7 binôme de Newton (commutation, indice 0). Q8 (M+N)² ≠ M² + 2MN + N² si non commutatives.
- Partie II — Variables de Rademacher et matrices ±1(Q13-Q26)Difficile
Premières questions très bien réussies, dernières plus théoriques peu correctement traitées. Q21 : déterminant pas combinaison linéaire de ses coefficients. Q22 : variance d'un produit ≠ produit des variances.
- Partie III — Programmation Python sur matrices(Q27-Q37)Niveau attendu
Globalement bien réussie. Q35 : commande // erronée pour résultats non-entiers. Q37 : famille orthogonale ⇒ libre seulement si vecteurs non nuls.
- Partie IV — Preuve du résultat de géométrie(Q38-Q46)Très difficile
Moins abordée. Combinaison habile d'analyse, algèbre, probabilités. Q41 : hypothèses de l'inégalité de Markov à donner ; cas t=0 à traiter.
Analyse globale du jury
« La première partie a été abordée presque entièrement par tous les candidats, et certaines questions ont été très bien traitées. En revanche, le cours n'est pas toujours bien appris et certains résultats, pourtant très importants, ne sont parfois pas cités correctement (propriétés de la trace ou formule du binôme de Newton par exemple). La deuxième partie a aussi été très largement étudiée mais avec moins de succès. La troisième partie, consacrée à l'algorithmique, a été globalement bien réussie. La dernière partie a été moins abordée. »
Top pièges sanctionnés
Trace ≠ produit scalaire (Q1, Q2)-2 pts
« Dans la Q1, il était demandé de démontrer que l'application trace était linéaire. Il n'était donc pas suffisant d'écrire que « la trace est clairement linéaire ». […] Dans la Q2, 4 points précis sont attendus pour démontrer qu'une application est un produit scalaire. En particulier, la positivité ne consiste pas à démontrer que tr(AᵀB)≥0. »
Binôme de Newton sans commutation (Q7-Q8)-2 pts
« Dans la Q7 : l'utilisation de la formule du binôme de Newton nécessite de préciser que les deux matrices M et N commutent. Par ailleurs, dans cette dernière formule, l'indice de sommation commence à 0 et non pas à 1. Dans la Q8, les deux matrices M et N ne commutaient pas. Le développement de (M+N)² n'est donc pas M² + 2MN + N². »
Théorème spectral sans toutes ses hypothèses (Q10)-1 pts
« Plusieurs méthodes de résolution étaient possibles. Lorsque le théorème spectral était utilisé, il ne fallait pas oublier d'en préciser toutes les hypothèses. »
Déterminant comme combinaison linéaire (Q21)-1 pts
« Le déterminant n'est pas une combinaison linéaire de ses coefficients ! »
Variance d'un produit (Q22)-1 pts
« Attention, en général, la variance d'un produit n'est pas égale au produit des variances. »
Famille orthogonale ≠ famille libre (Q37)-2 pts
« Dans la Q37, il ne suffit pas de dire que la famille est orthogonale pour conclure qu'elle est libre ! Il est important de préciser que ses vecteurs doivent être non nuls (ce qui est le cas si la famille est orthonormale). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PSI, session 2022 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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FAQ
