Top piège du sujet
Trace ≠ produit scalaire (Q1, Q2)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.01
Médiane
8.9
Écart-type
4.13
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
4 138
sur 4 353 inscrits · 4.9% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne stable par rapport à 2021 (9.01 vs 9.07). Écart-type plus élevé (σ 3.83 → 4.13), notes plus dispersées.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration d'un résultat de géométrie dans un espace euclidien, résultats intermédiaires sur matrices nilpotentes et variables aléatoires discrètes. Quatre parties largement indépendantes : propriétés des matrices nilpotentes, propriétés algébriques des matrices colonnes ne comportant que des 1 et −1 puis loi de probabilité sur {−1, 1} (variables de Rademacher), programmation Python, et preuve du résultat de géométrie visé.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Propriétés des matrices nilpotentes(Q1-Q12)Niveau attendu
Trace, déterminant, manipulation de matrices et puissances. Q1 trace linéaire (rédaction insuffisante), Q2 produit scalaire (positivité tr(AᵀB)≥0). Q4 unicité valeur propre 0. Q7 binôme de Newton (commutation, indice 0). Q8 (M+N)² ≠ M² + 2MN + N² si non commutatives.
- Partie II — Variables de Rademacher et matrices ±1(Q13-Q26)Difficile
Premières questions très bien réussies, dernières plus théoriques peu correctement traitées. Q21 : déterminant pas combinaison linéaire de ses coefficients. Q22 : variance d'un produit ≠ produit des variances.
- Partie III — Programmation Python sur matrices(Q27-Q37)Niveau attendu
Globalement bien réussie. Q35 : commande // erronée pour résultats non-entiers. Q37 : famille orthogonale ⇒ libre seulement si vecteurs non nuls.
- Partie IV — Preuve du résultat de géométrie(Q38-Q46)Très difficile
Moins abordée. Combinaison habile d'analyse, algèbre, probabilités. Q41 : hypothèses de l'inégalité de Markov à donner ; cas t=0 à traiter.
Analyse globale du jury
« La première partie a été abordée presque entièrement par tous les candidats, et certaines questions ont été très bien traitées. En revanche, le cours n'est pas toujours bien appris et certains résultats, pourtant très importants, ne sont parfois pas cités correctement (propriétés de la trace ou formule du binôme de Newton par exemple). La deuxième partie a aussi été très largement étudiée mais avec moins de succès. La troisième partie, consacrée à l'algorithmique, a été globalement bien réussie. La dernière partie a été moins abordée. »
Top pièges sanctionnés
Trace ≠ produit scalaire (Q1, Q2)-2 pts
« Dans la Q1, il était demandé de démontrer que l'application trace était linéaire. Il n'était donc pas suffisant d'écrire que « la trace est clairement linéaire ». […] Dans la Q2, 4 points précis sont attendus pour démontrer qu'une application est un produit scalaire. En particulier, la positivité ne consiste pas à démontrer que tr(AᵀB)≥0. »
Binôme de Newton sans commutation (Q7-Q8)-2 pts
« Dans la Q7 : l'utilisation de la formule du binôme de Newton nécessite de préciser que les deux matrices M et N commutent. Par ailleurs, dans cette dernière formule, l'indice de sommation commence à 0 et non pas à 1. Dans la Q8, les deux matrices M et N ne commutaient pas. Le développement de (M+N)² n'est donc pas M² + 2MN + N². »
Théorème spectral sans toutes ses hypothèses (Q10)-1 pts
« Plusieurs méthodes de résolution étaient possibles. Lorsque le théorème spectral était utilisé, il ne fallait pas oublier d'en préciser toutes les hypothèses. »
Déterminant comme combinaison linéaire (Q21)-1 pts
« Le déterminant n'est pas une combinaison linéaire de ses coefficients ! »
Variance d'un produit (Q22)-1 pts
« Attention, en général, la variance d'un produit n'est pas égale au produit des variances. »
Famille orthogonale ≠ famille libre (Q37)-2 pts
« Dans la Q37, il ne suffit pas de dire que la famille est orthogonale pour conclure qu'elle est libre ! Il est important de préciser que ses vecteurs doivent être non nuls (ce qui est le cas si la famille est orthonormale). »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PSI, session 2022 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths I Centrale-Supélec PSI 2022 s'est déroulée début mai 2022, en 4 heures, coefficient 15. 4138 candidats présents pour 4353 inscrits (4.9% d'absents).
Sujet en quatre parties autour des matrices nilpotentes et variables de Rademacher : (1) propriétés des matrices nilpotentes (trace, déterminant), (2) variables de Rademacher et matrices colonnes ±1 (loi de probabilité, espérance, variance), (3) programmation Python sur matrices, (4) preuve d'un résultat de géométrie euclidienne combinant les outils précédents.
La moyenne brute s'est établie à 9.01/20, écart-type 4.13. Médiane 8.9, premier quartile 6.0, troisième quartile 12.0. La partie III (Python) a été globalement bien réussie, contrairement aux résultats théoriques de la partie II et la partie IV.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Stratégie clé : traiter rigoureusement la partie I (matrices nilpotentes, bien abordée) avec démonstrations complètes, capitaliser sur la partie III (Python, bien réussie), et garder du temps pour amorcer la partie IV (géométrie euclidienne).
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur la partie I et la partie III. Q1 (trace linéaire, démontrer, pas « clairement »), Q2 (produit scalaire en 4 points : bilinéarité, symétrie, défini, positif). Q7 binôme de Newton avec commutation et indice 0. Q35 : utilisation correcte de // (entiers).
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter la partie II rigoureusement (Q22 : variance d'un produit ≠ produit des variances) et amorcer la partie IV. Q41 : inégalité de Markov avec hypothèse de positivité, traiter le cas t=0. Q37 : famille orthogonale ⇒ libre seulement si vecteurs non nuls.
Gestion des 4h : 1h15 sur la partie I (Q1-Q12, nilpotentes, démonstrations soignées), 1h sur la partie II (Q13-Q26, Rademacher), 45 min sur la partie III (Q27-Q37, Python), 1h sur la partie IV (Q38-Q46, géométrie). Citer toutes les hypothèses des théorèmes (binôme de Newton, théorème spectral, inégalité de Markov).
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Démontrer la linéarité de la trace : pas « la trace est clairement linéaire ». Donner les calculs.
- Binôme de Newton avec commutation : préciser que les matrices commutent. Indice de sommation commence à 0 (pas 1).
- Théorème spectral avec toutes ses hypothèses : matrice symétrique réelle. Le mot « réelle » est souvent oublié.
- Famille orthogonale ⇒ libre seulement si non nuls : orthonormale OK directement.
- Variance d'un produit ≠ produit des variances, et le déterminant n'est pas une combinaison linéaire de ses coefficients.
Ressources
Téléchargements
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