Top piège du sujet
Convergence absolue d'intégrale sans signe (Q1)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.31
Médiane
9.3
Écart-type
4.05
Q1 (25%)
6.3
Q3 (75%)
12.1
Candidats présents
4 154
sur 4 365 inscrits · 4.8% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.32 par rapport à 2022 (9.31 vs 8.99). Écart-type stable (σ=4.05).
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude de différentes applications autour de la formule de Stirling. Quatre parties : intégrale de Gauss via intégrales à paramètres (théorème de dérivation et convergence dominée), démonstration et amélioration de la formule de Stirling, marche aléatoire via séries entières (rayon de convergence, produit de Cauchy), et marche aléatoire symétrique pour obtenir la loi de l'Arcsinus.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Intégrale de Gauss via intégrales à paramètres(Q1-Q7)Niveau attendu
Version très guidée. Théorème de dérivation des intégrales à paramètres, dominations locales, convergence dominée. Q3 : dominations locales souvent fausses. Q7 : interversion limite/intégrale.
- Partie II — Démonstration et amélioration de Stirling(Q8-Q22)Difficile
Domination, étude locale, DL, encadrements, comparaison série-intégrale. Q11 : convergence simple peu réussie. Q14 : monotonie de q. Q15 : convergence dominée, appliquée par 1/3 des candidats correctement.
- Partie III — Marche aléatoire via séries entières(Q23-Q33)Difficile
S_n loi binomiale (à justifier !). Règle de d'Alembert pour rayon de convergence. Produit de Cauchy avec soin. Q33 (description événement) rarement traitée.
- Partie IV — Marche symétrique et loi de l'Arcsinus(Q34-Q46)Très difficile
Manque de formalisation pour dénombrement. Q35 équiprobabilité des chemins. Q43-Q44 : sommes de Riemann (théorème avec hypothèses). Q45-Q46 : seules quelques quarantaines de très bonnes copies traitent.
Analyse globale du jury
« Le sujet proposé pour cette session se présentait sous une forme légèrement plus longue que la précédente, avec une difficulté raisonnable excepté les dernières questions présentant et utilisant le principe de réflexion. Néanmoins, les meilleurs candidats ont été en mesure de traiter presque toutes les questions avec rigueur et une rédaction claire. Toutes les questions ont été traitées au moins en partie par plusieurs candidats. L'indépendance de plusieurs parties et la présence de questions très classiques ont permis aux candidats d'avancer. »
Top pièges sanctionnés
Convergence absolue d'intégrale sans signe (Q1)-1 pts
« Il s'agissait d'établir la convergence absolue d'une intégrale. Beaucoup de candidats oublient la continuité et parlent de convergence sans précision de signe. Cette première question donne bien souvent une indication de la suite de la copie. »
Limite dépendant de n quand on prend n → +∞ (Q11)-2 pts
« Le manque de méthode (simplement fixer la variable, puis faire varier n) pour l'étude de la convergence simple est à déplorer. Beaucoup de limites dépendent encore de n. »
Convergence dominée mal appliquée (Q15)-2 pts
« Traitée par moins d'un tiers des candidats, et correctement par un tiers de ces derniers. La résolution de cette question, en particulier l'application du théorème de convergence dominée, était pourtant cousue de fil blanc. »
Loi binomiale annoncée sans justification (Q23)-1 pts
« Beaucoup d'entre-eux ont affirmé que S_n suivait la loi binomiale. Pour cette loi, il était attendu qu'elle soit justifiée. »
Règle de d'Alembert pour séries entières (Q26)-2 pts
« La règle de d'Alembert pour les séries entières ne s'appliquait pas directement. L'application de la règle pour les séries numériques a été utilisée mais rarement proprement : trop souvent la rédaction se limite à un quotient (éventuellement non défini) et une limite puis immédiatement une conclusion sur le rayon. »
Théorème des sommes de Riemann sans hypothèses (Q43-Q44)-1 pts
« Les candidats à l'aise en analyse ont trouvé ici chaussure à leur pied. Parfois des tentatives de grapillage de candidats désœuvrés. On rappelle que le théorème sur les sommes de Riemann a des hypothèses. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PSI, session 2023 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec PSI 2023 s'est déroulée début mai 2023, en 4 heures, coefficient 15. 4154 candidats présents pour 4365 inscrits (4.8% d'absents).
Sujet en quatre parties autour de la formule de Stirling et des marches aléatoires : (1) intégrale de Gauss via intégrales à paramètres (dérivation, convergence dominée), (2) démonstration et amélioration de Stirling (encadrements, comparaison série-intégrale), (3) marche aléatoire via séries entières (rayon, produit de Cauchy), (4) marche aléatoire symétrique et loi de l'Arcsinus avec principe de réflexion.
La moyenne brute s'est établie à 9.31/20, écart-type 4.05. Médiane 9.3, premier quartile 6.3, troisième quartile 12.1. La Q15 (convergence dominée, « cousue de fil blanc » selon le jury) a été traitée par 1/3 des candidats, correctement par 1/3 de ceux-là.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2023 valorise les candidats « cherchant à comprendre l'objectif des questions posées ». Stratégie clé : traiter la partie I rigoureusement (intégrale de Gauss), attaquer la partie II (Stirling) avec convergence dominée bien appliquée, et soigner la justification de la loi binomiale en partie III.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur la partie I (intégrale de Gauss, guidée). Q1 : convergence absolue avec continuité et signe. Q11 : étude de convergence simple en fixant x puis en faisant varier n (pas de limite dépendant de n). Q23 : si S_n est binomiale, le justifier par schéma de Bernoulli (n épreuves indépendantes).
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter Q15 rigoureusement (convergence dominée, différencie les bonnes copies), Q26 (rayon par d'Alembert proprement avec dénominateur non nul), et entamer la partie IV (loi de l'Arcsinus). Q43-Q44 : citer le théorème des sommes de Riemann avec ses hypothèses.
Gestion des 4h : 1h sur la partie I (Q1-Q7, Gauss, intégrales à paramètres), 1h15 sur la partie II (Q8-Q22, Stirling, convergence dominée), 1h sur la partie III (Q23-Q33, marche aléatoire, séries entières), 30 min sur la partie IV (Q34-Q42, loi de l'Arcsinus), 15 min de relecture. Q45-Q46 ne sont traitées que par quelques dizaines de très bonnes copies.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Convergence absolue avec continuité et signe : Q1 donne une indication de la suite de la copie selon le jury. Soigner cette première question.
- Convergence simple en fixant x puis n → +∞ : beaucoup de limites dépendent encore de n, signe d'un manque de méthode.
- Loi binomiale justifiée par schéma de Bernoulli : n épreuves indépendantes, succès/échec, paramètre p. Pas une affirmation gratuite.
- Règle de d'Alembert proprement : quotient avec dénominateur non nul, limite explicite, puis conclusion sur le rayon.
- Sommes de Riemann avec hypothèses : fonction continue, intervalle borné, subdivision régulière. Pas un raccourci.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ