Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet de probabilités autour des inégalités de Khintchine, mobilisant séries entières, intégration et algèbre euclidienne. Toutes les questions étaient fermées (pas de risque de blocage). Sujet « un peu long mais raisonnable » avec un étalement correct des notes. La 1ère partie sur Hölder a été décevante côté rédaction (cas particuliers oubliés). Cœur du sujet : les inégalités de Khintchine via Cauchy-Schwarz, Markov et convergence d'intégrales.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Inégalité de Hölder (questions classiques)(Q1-Q7)Niveau attendu
Concavité du logarithme (Q1), cas particulier E(X^p)=E(Y^q)=1 (Q2), Cauchy-Schwarz (Q3). Le jury attendait une rédaction soignée et l'évocation des cas particuliers. Performances décevantes : Cauchy-Schwarz n'a pas été vue dans plus d'une copie sur deux.
- Partie II — Inégalités de Khintchine — convergence et étude d'intégrales(Q8-Q13)Difficile
Q4 utilisait le développement en série entière, Q5 l'indépendance des e^{tcX}, Q6 l'inégalité de Markov. Q8-Q9 sur la convergence d'intégrale. Q11-Q12 généralement sautées sauf dans les très bonnes copies (et les très faibles, où tout était faux).
- Partie III — Algèbre euclidienne (fin du sujet)(Q14-Q21)Très difficile
Q14-Q15 très techniques, peu abordées (les candidats sautaient à Q17). Q17 traitée correctement par presque tous (forme bilinéaire symétrique positive). Q20-Q21 réservées aux meilleurs candidats.
Analyse globale du jury
« Sujet probabiliste un peu long mais raisonnable, avec un étalement correct des notes. Toutes les questions étaient fermées, donc pas de risque de se retrouver bloqué. La 1ère partie (Hölder) a été décevante côté rédaction : « pour les premières questions on attend une rédaction soignée et il ne faut pas oublier les cas particuliers ». Sur la présentation : « il n'y a peut-être pas d'aggravation par rapport aux années précédentes, mais les calculs avec des indices présents dans de nombreuses questions de ce problème pouvaient être carrément illisibles ». Le bénéfice du doute n'existe pas : si on n'arrive pas à lire, on met 0 à la question. »
Top pièges sanctionnés
Cauchy-Schwarz (Q3) sans envisager le cas dégénéré-2 pts
« Dans la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que nous n'avons pas vue dans plus d'une copie sur deux, on obtient un polynôme du second degré si le coefficient du terme de degré 2 n'est pas nul, ici aussi c'était un cas particulier à évoquer. »
Cas particulier E(X^p) ou E(Y^q) nulle oublié (Q2)-1 pts
« Le cas particulier E(X^p) = E(Y^q) = 1 se déduisait de la question précédente. Dans le passage au cas général, le cas E(X^p) ou E(Y^q) nulle devait être aussi envisagé à part. »
Croissance stricte vs croissance de l'exponentielle (Q7)-1 pts
« L'égalité P(|x∑c_i X_i| > tx) = P(exp(|x∑c_i X_i|) > e^{tx}) n'était pas souvent justifiée, au mieux on évoquait la croissance, et pas la croissance stricte, de la fonction exponentielle. »
Calculs avec indices illisibles — malus présentation-2 pts
« Les calculs avec des indices présents dans de nombreuses questions de ce problème pouvaient être carrément illisibles. (...) Le bénéfice du doute n'existe pas, si on n'arrive pas à lire, ou s'il faut aller chercher les calculs au milieu de gribouillages, on met 0 à la question. »
Questions Q14-Q15 sautées au profit de Q17-2 pts
« Ces questions, qui étaient très techniques ont été très peu abordées, les candidats étant attirés par la question 17, ce qui est tout à fait normal puisqu'on se retrouvait en terrain plus familier. Les démonstrations directes dans l'esprit du sujet rédigées correctement n'ont pas été très nombreuses. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2025 · PDF officiel ↗
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