Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet algébrique autour du théorème de Schur-Cohn (systèmes dynamiques), en 5 parties largement indépendantes : polynômes réciproques (I, abordable), liberté d'une famille de polynômes (II, la plus abordable), non-inversibilité de J(p) (III, calculatoire), preuve du critère par décomposition de Jordan admise (IV, difficile, théorème spectral et vecteurs propres orthogonaux), synthèse (V, bilan). Sujet « très long mais le barème en a tenu compte ».
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Polynômes réciproques et antiréciproques(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 généralement bien traitée mais argument supplémentaire (égalité formelle de polynômes) souvent omis. Q2 confondue avec la contraposée. Q5 a interpellé : « la plupart des candidats semblent ne même pas se douter que, pour appliquer un théorème, il faut vérifier les hypothèses ».
- Partie II — Partie II — Liberté d'une famille de polynômes(Q6-Q9)Difficile
Partie la plus abordable selon le jury, même si elle comportait une question assez difficile. Manipulation du polynôme caractéristique, calculs concrets d'éléments propres en Q9 (lacunes de calcul mises en exergue).
- Partie III — Partie III — Non-inversibilité de J(p)(Q10-Q13)Difficile
Calculatoire mais accessible si on a abordé les parties précédentes. Q11-Q12 sur les manipulations matricielles par blocs — le jury repère les « tentatives d'arnaque » (résultats donnés trouvés par pirouette en 20 lignes de calcul illisibles).
- Partie IV — Partie IV — Critère de Schur-Cohn (réduction)(Q14-Q19)Très difficile
Utilisait le programme de réduction de 2ème année (théorème spectral, vecteurs propres orthogonaux). Difficile, demandait d'être à l'aise avec la décomposition de Jordan admise. Confusions fréquentes complémentaire/supplémentaire en Q17, vecteurs propres non orthogonaux pris pour orthogonaux en Q16.
- Partie V — Partie V — Synthèse(Q20-Q21)Très difficile
Q20 (simple bilan, demandait de citer explicitement les numéros des questions utilisées) abordée. Q21 (synthèse finale) « pratiquement jamais abordée » par les candidats. « Les questions suivantes ont été trop peu traitées » selon le jury.
Analyse globale du jury
« Sujet très long mais le barème en a tenu compte. Certaines questions étaient assez difficiles, mais de nombreuses questions étaient abordables ; néanmoins, certaines questions longues et calculatoires ont pu décourager certains candidats de regarder les questions suivantes. Le jury déplore deux constats récurrents : (1) « la plupart des candidats semblent ne même pas se douter que, pour appliquer un théorème, il faut vérifier les hypothèses » ; (2) la présentation des copies a poussé le jury à inclure « comme l'année dernière » un malus barème sur la présentation. Copie illisible = 0 à la question. »
Top pièges sanctionnés
Théorème de Rolle invoqué sans aucune hypothèse vérifiée (Q5)-2 pts
« La majorité des copies invoque le théorème de Rolle pour montrer que p′ est scindé sur ℝ, mais aucune hypothèse n'est évoquée. Le jury peut concevoir que des candidats ne les connaissent pas, que des candidats se trompent, mais le très grand nombre de copies sans hypothèses laisse penser le résultat beaucoup plus difficilement concevable suivant : la plupart des candidats semblent ne même pas se douter que, pour appliquer un théorème, il faut vérifier les hypothèses. Le jury rappelle cette évidence avec force. »
« Tentatives d'arnaque » : 20 lignes pour aboutir au résultat donné par pirouette-2 pts
« Le jury a dû se montrer extrêmement vigilant pour ne pas se laisser abuser par de trop nombreux candidats qui, après une vingtaine de lignes ne menant nulle part, arrivaient par une pirouette au bon résultat. (...) Beaucoup de copies ne détaillent en rien certains calculs : le jury rappelle que le but des candidats est d'être compris, si les calculs ne sont pas du tout détaillés, le jury peut ne pas attribuer les points. »
Théorème spectral cité sans préciser que la matrice est symétrique réelle (Q16)-1 pts
« Précisons que « théorème » est un mot masculin, et donc qu'on dit « théorème spectral » et non pas « théorème spectrale ». De plus, trop de candidats pensent qu'une combinaison linéaire ou une somme de vecteurs propres donne encore un vecteur propre. »
Confusion supplémentaire / complémentaire (Q17)-1 pts
« Trop de candidats confondent supplémentaire et complémentaire (et union et somme). Dans combien de copies peut-on lire : « x n'est pas dans F_M donc est dans son orthogonal », alors qu'un simple dessin en dimension 2 permet de se convaincre que c'est (très) faux ? »
Présentation négligée — malus barème reconduit-2 pts
« Le jury, comme l'année dernière, a décidé d'inclure dans le barème un malus pour tout ce qui a trait à la présentation. (...) Si on n'arrive pas à lire, ou s'il faut aller chercher les calculs au milieu de gribouillages, on met 0 à la question. Une copie présentée comme un cahier d'élève de CE1 ne part pas dans les dispositions les plus favorables pour la suite. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2025 · PDF officiel ↗
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