Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet sur des inégalités portant sur des fonctions réelles définies sur Sn+(R) et Sn++(R). Cinq parties : Partie I proche du cours (équivalence positivité forme quadratique/spectrale, convexité de Sn+/Sn++, racine carrée d'une matrice de Sn++, inégalité de Jensen). Partie II élémentaire : Tr(M)/n ≤ ⁿ√det(M) puis raffinement. Partie III plus délicate : inégalité de Minkowski (Q10) et concavité logarithmique du déterminant (Q11-Q12).…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Positivité, convexité et inégalité de Jensen (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 équivalence des deux définitions — caractère non nul du vecteur propre, citation complète du théorème spectral. Q2 convexité de Sn+(R) et Sn++(R) — vérification de stabilité par combinaison convexe souvent omise, exemple -In pour le non-sous-espace.…
- Partie II — Partie II — Inégalité Tr/det et raffinement (Q6-Q7)(Q6-Q7)Niveau attendu
Q6 expression correcte de ‖M‖² souvent donnée, justifications parfois incomplètes. Q7 lien entre max(x1...xn) et Σxk² parfois insuffisamment justifié.
- Partie III — Partie III — Inégalité de Minkowski et log-concavité du déterminant (Q8-Q12)(Q8-Q12)Difficile
Q8 coréduction de deux formes quadratiques — difficile dans le cadre du programme actuel, traitée par une poignée des meilleurs (termes diagonaux de D ne sont pas valeurs propres de B). Q10-Q11 demandent du recul (utilisation des Q8 et Q9 non indiquée).…
- Partie IV — Partie IV — Majoration de log det(A+tIn) (Q13-Q15)(Q13-Q15)Difficile
Q13 polynôme caractéristique, certaines copies aboutissent à un résultat faux. Q14 utilisation de ln(1+u)≤u, bonne définition de f sur R+ souvent absente. Q15 caractère polynomial du déterminant ou Q8.
- Partie V — Partie V — Comportement asymptotique de det(A+tM)^{-α} (Q16-Q24)(Q16-Q24)Très difficile
Q16 caractère ouvert de Sn++(R) hors programme. Q19 développement de 1/(1+u) avec u=A non valable. Q20 dérivabilité — stricte positivité à mentionner. Q21-Q22 venant tard, quasi jamais traitées. Q23-Q24 quasiment aucune réponse valable.
Analyse globale du jury
« Ce sujet demande une bonne maîtrise des matrices symétriques (notamment du théorème spectral), des fonctions de variable réelle (en particulier de la convexité), et des fonctions vectorielles. Les questions sont de difficultés très variées. Cette diversité de niveaux a permis un classement efficace. Une proportion significative des candidats a démontré de vraies qualités mathématiques ; les meilleurs ont traité une grande partie de l'épreuve. À l'inverse, beaucoup de copies révèlent une très mauvaise connaissance du cours et de grosses lacunes techniques (dérivation, calcul matriciel) et/ou conceptuelles, très en deçà de ce qui est attendu au CCMP. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — positivité de <Ax,x> sur les vecteurs propres ne suffit pas-2 pts
« Contrairement à ce que semblent croire certains candidats, la positivité de <Ax, x> pour x vecteur propre n'entraîne pas directement la positivité pour tout vecteur x. »
Q3 — racine carrée non symétrique sans matrice de passage orthogonale-2 pts
« Les candidats proposent en général une matrice solution obtenue en diagonalisant A ; mais beaucoup omettent de vérifier sa symétrie et son caractère défini positif. Le caractère symétrique repose de manière cruciale sur le caractère orthogonal de la matrice de passage. Noter une matrice D^{1/2} sans explication ne constitue pas un argument. »
Q12 — concavité, pas convexité-1 pts
« Beaucoup ont vu le « passage au logarithme ». Il fallait préciser que la fonction était bien définie (déterminant strictement positif) et conclure à la concavité, non à la convexité ! »
Convexité — utiliser la dérivée seconde-1 pts
« Toutefois, une minorité de candidats ne pense pas à utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité ; parmi eux, certains poursuivent des calculs qui n'aboutissent pas, et semblent croire que l'absence de conclusion va fourvoyer le correcteur. »
Confusions vecteurs/scalaires (typage)-2 pts
« Nous leur conseillons également de prendre le temps de relire leur copie, de manière à éviter de laisser subsister dans leur travail des absurdités criantes (par exemple, des erreurs de typage, comme les confusions entre vecteurs et scalaires). »
Q19 — DL de 1/(1+u) avec u = matrice-1 pts
« Très peu de réponses correctes, en dépit de l'indication. Employer le développement limité de 1/(1+u) avec u = A ne constitue pas une réponse correcte. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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FAQ
