Top piège du sujet
Limite finie en une borne ≠ intégrabilité (Q1)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.99
Médiane
8.7
Écart-type
4.09
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
4 090
sur 4 353 inscrits · 6.0% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne stable par rapport à 2021 (8.99 vs 9.08). Écart-type plus élevé (σ 3.86 → 4.09), notes plus dispersées.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Opérateur intégral défini sur un espace de fonctions de carré intégrable avec un poids strictement positif. Cinq parties : conditions d'appartenance à l'espace vectoriel (intégration, continuité, dérivation, comportement asymptotique), structure préhilbertienne, définition et étude de l'opérateur intégral, recherche de solutions développables en série entière, recherche d'éléments propres (orthogonalité des espaces propres d'un endomorphisme symétrique en dimension quelconque).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Conditions d'appartenance à l'espaceDifficile
Notion d'intégrale généralisée. Q1 : intégrabilité au voisinage de l'infini bien traitée, voisinage de l'origine pose problème. Q2-Q3 raisonnement par disjonction de cas. Q6-Q7 théorème fondamental de l'analyse adapté.
- Partie II — Structure préhilbertienneNiveau attendu
Très classique sauf Q13. Q9 résultat classique, 1/3 des candidats. Q10-Q11 : démonstrer sous-EV, caractère défini du produit scalaire (un candidat sur 7 évite Q10). Q13 : convergence de l'intégrale à calculer évoquée.
- Partie III — Opérateur intégral TDifficile
Q15-Q16 bien traitées. Q19 délicate, Cauchy-Schwarz, seconde majoration f décroissante. Q22 injectivité d'application linéaire. Q23 dimension finie uniquement. Q26 délicate.
- Partie IV — Solutions développables en série entière(Q30-Q40)Très difficile
Q30 : régularité de la somme et unicité des coefficients. Q33 : produit de fonctions développables, rayons à préciser. Q36-Q40 : partie délicate, abordée par 1/4 seulement.
- Partie V — Éléments propres et orthogonalité(Q41-Q46)Très difficile
Abordée dans 1/4 des copies seulement. Q41 lien avec injectivité (Q22). Q45 : équation différentielle à coefficients constants (y'' − y' = 0). Q46 : justifier que P_p est vecteur propre de U.
Analyse globale du jury
« Le sujet proposé pour cette session se présentait sous une forme suffisamment longue avec une difficulté raisonnable. Les meilleurs candidats ont été en mesure de traiter presque toutes les questions avec rigueur et une rédaction claire. Toutes les questions ont été traitées au moins en partie par plusieurs candidats. L'indépendance de plusieurs parties et la présence de questions très classiques ont permis aux candidats d'avancer. Du point de vue du fond, certaines méthodes de base sont parfois défaillantes, notamment, le raisonnement par disjonctions de cas pose problème. »
Top pièges sanctionnés
Limite finie en une borne ≠ intégrabilité (Q1)-2 pts
« Pour certains, avoir une limite finie en une borne de l'intervalle est une condition nécessaire d'intégrabilité ; d'autres éprouvent le besoin de faire une disjonction de cas pour la convergence […]. La positivité est souvent oubliée pour les candidats utilisant la notion d'intégrale convergente. La continuité de p_α est souvent oubliée. »
Caractère défini du produit scalaire (Q10)-1 pts
« Pour le produit scalaire, le caractère défini pose toujours problème. Chose étrange, un candidat sur sept évite Q10 et passe directement à Q11. »
Convergence d'intégrale à calculer non évoquée (Q13)-1 pts
« Beaucoup de candidats n'évoquent même pas la convergence de l'intégrale à calculer. »
Majoration grossière f décroissante (Q19)-2 pts
« La seconde majoration a donné lieu à de grossières erreurs, principalement : comme f est décroissante, on ∫_x^{+∞} f(t)dt ≤ f(x). »
Produit de séries entières sans préciser rayons (Q33)-1 pts
« Les candidats ont presque tous utilisé un produit de fonctions développables en série entière, mais trop souvent sans préciser les rayons. »
Équation différentielle simple (y''−y'=0) ratée (Q45)-2 pts
« Il est désarmant de constater qu'une équation différentielle à coefficients constants, en l'occurrence y''−y'=0, soit la majeure difficulté. Une fraction minime des candidats ayant abordé cette question ont réussi cette résolution. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PSI, session 2022 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec PSI 2022 s'est déroulée début mai 2022, en 4 heures, coefficient 15. 4090 candidats présents pour 4353 inscrits (6.0% d'absents).
Sujet en cinq parties autour d'un opérateur intégral défini sur un espace de fonctions de carré intégrable avec un poids strictement positif : (1) conditions d'appartenance, (2) structure préhilbertienne, (3) étude de l'opérateur intégral T, (4) solutions développables en série entière, (5) recherche d'éléments propres (orthogonalité des espaces propres en dimension quelconque).
La moyenne brute s'est établie à 8.99/20, écart-type 4.09. Médiane 8.7, premier quartile 6.0, troisième quartile 12.0. Les parties IV-V sont abordées par 1/4 seulement des copies. Q45 (résolution de y''−y'=0, EDL coefficients constants) est qualifiée de « majeure difficulté » par le jury.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2022 souligne que « certaines méthodes de base sont parfois défaillantes, notamment, le raisonnement par disjonctions de cas pose problème ». Stratégie clé : traiter rigoureusement les parties I-II (intégrabilité, préhilbertien) et ne jamais oublier les EDL de base (y''−y'=0).
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur les parties I-III. Q1 : continuité de l'intégrande, intégrabilité au voisinage de chaque borne (disjonction de cas selon α). Q10 : caractère défini du produit scalaire (4 axiomes). Q19 : majoration rigoureuse (f décroissante ne donne pas ∫_x^∞ f ≤ f(x)).
Si tu vises 14+ (top 10%)
Il faut traiter les parties IV-V (Q30-Q46, séries entières, éléments propres). Q33 : produit de séries entières avec rayons explicites. Q45 : résolution simple de y''−y'=0 (équation caractéristique r²−r=0, base à ne pas rater).
Gestion des 4h : 1h sur la partie I (Q1-Q8, intégrabilité), 1h sur la partie II (Q9-Q14, préhilbertien), 1h sur la partie III (Q15-Q29, opérateur T), 45 min sur la partie IV (Q30-Q40), 15 min sur la partie V (Q41-Q46). Justifier les disjonctions de cas avec rigueur : point souligné par le jury.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Limite finie en une borne ≠ intégrabilité : il faut la continuité, l'absence de divergence, la positivité du signe ou la convergence absolue.
- Caractère défini du produit scalaire : toujours vérifier les 4 axiomes (bilinéarité, symétrie, positivité, défini).
- Convergence d'intégrale avant calcul : toujours évoquée avant de calculer une valeur.
- Majoration f décroissante ne donne pas ∫_x^∞ f ≤ f(x), c'est une erreur grossière. Utiliser une comparaison rigoureuse.
- EDL à coefficients constants y''−y'=0 : savoir résoudre. Équation caractéristique r²−r=0, racines 0 et 1, solutions α + β·exp(t).
Ressources
Téléchargements
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