Top piège du sujet
Compacité de Sⁿ⁻¹ : trois propriétés non toutes mentionnées (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème propose l'étude de la norme d'une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes. Il aborde l'algèbre linéaire, l'analyse, un peu de topologie élémentaire (compacité de Sⁿ⁻¹) et les probabilités (variables aléatoires sous-gaussiennes, inégalité de concentration). Premier sujet Maths II MP exploitant l'introduction des probabilités dans le programme deux ans plus tôt.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q7, Norme d'opérateur d'une matrice(Q1-Q7)Niveau attendu
Q1 : compacité de Sⁿ⁻¹ (trois propriétés : fermé, borné, dim finie) et existence de ‖M‖_op via continuité. Q2 : quatre propriétés de norme (positivité souvent oubliée, caractère défini bâclé). Q3 : cas symétrique (théorème spectral, base orthonormée). Q4 : Jₙ via rang. Q6 : Cauchy-Schwarz.
- Partie II — Q8-Q14, Variables sous-gaussiennes(Q8-Q14)Difficile
Q8 : inégalités sur séries entières (terme constant souvent oublié). Q9 : convexité (coefficients positifs, somme 1). Q10 : E(exp(tX)) ≤ ch(t) via croissance + linéarité. Q11 : indépendance et espérance d'un produit. Q12 : Markov sur (X ≥ λ). Q14 : λ = √(2 ln k / β²).
- Partie III — Q15-Q20, Méthode du ε-net et concentration(Q15-Q20)Très difficile
Q15 : recouvrement fini d'un compact par boules ε/2, raisonnements souvent viciés (modification de A). Q16 : Λ fini, cardinal majoré. Q19 : indépendance via lemme des coalitions, Markov. Q20 : existence de a, inégalité finale ‖M^(n)‖_op, beaucoup l'abordent, certains rédigent le sujet entier.
Analyse globale du jury
« Le jury salue : « ce sujet était de longueur et de difficulté adaptées au niveau moyen des candidats, et qu'il a permis un bon étalement des notes ». Les questions de probabilités ont été « traitées tout aussi valablement que celles portant sur d'autres parties du programme, ce qui montre que cette partie du programme a été aussi bien intégrée que les autres ». Cependant : « les justifications des calculs et des raisonnements sont encore nettement perfectibles ». Conclusion du jury : « ce cahier des charges nous paraît avoir été rempli haut la main par le présent sujet ». »
Top pièges sanctionnés
Compacité de Sⁿ⁻¹ : trois propriétés non toutes mentionnées (Q1)-2 pts
« Les trois propriétés requises pour la compacité de Sⁿ⁻¹ (fermé, borné, en dimension finie) n'étaient pas toujours mentionnées ou établies. L'existence du maximum de ‖Mx‖ quand x décrit Sⁿ⁻¹ a donné lieu à de nombreuses erreurs ou omissions dans les raisonnements. »
Théorème spectral cité sans base orthonormée (Q3)-2 pts
« Il était essentiel de mentionner le fait qu'une telle matrice est diagonalisable dans une base orthonormée, et de se placer dans une telle base pour effectuer le raisonnement : en effet, si P est orthogonale, une égalité du type ‖Σ x_i e_i‖² = Σ ‖x_i e_i‖² ne vaut que dans une telle base. »
Inégalité fausse sur la somme des carrés (Q6)-2 pts
« Alors que cette inégalité découlait aisément de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons lu de nombreuses « démonstrations » recourant à des inégalités manifestement fausses, du genre ‖Σ Mx_i e_i‖² ≤ Σ ‖Mx_i e_i‖², laquelle ne vaut évidemment que si M est symétrique. »
Recouvrement fini : modification de A invalide la contradiction (Q15)-3 pts
« De nombreux raisonnements étaient viciés depuis le départ. […] Étant donné qu'on a modifié A, il n'y a en réalité pas de contradiction avec cette hypothèse ; tout ce qu'on a montré, c'est que pour tout élément x de K, il existe une partie finie A de K tel que x appartienne à ⋃ B(a, ε/2) ; mais il suffit de prendre A = {x}. Et surtout, on n'a absolument pas prouvé le résultat demandé. »
Volume d'une réunion de boules sans disjonction (Q17)-1 pts
« Il était nécessaire de préciser que si le volume de la réunion des boules B(a, ε/2) pour a ∈ Λ est égal à la somme de leurs volumes, c'est parce que ces boules sont deux à deux disjointes. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2015 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths II 2015
L'épreuve Maths II Mines-Ponts MP 2015 s'est déroulée fin avril 2015, durée 4h, coefficient 5, la plus haute pondération mathématique du concours. Concours commun ouvrant 10 écoles d'ingénieur (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Sujet intitulé « Norme d'une matrice aléatoire ». L'objectif : établir une inégalité de concentration pour la norme opérationnelle ‖M‖_op d'une matrice carrée dont les coefficients sont mutuellement indépendants et uniformément sous-gaussiens. Trois parties : (A) propriétés générales de la norme d'opérateur, (B) variables aléatoires sous-gaussiennes, (C) inégalité de concentration via la méthode du ε-net. Premier sujet Maths II MP exploitant les probabilités deux ans après leur introduction au programme.
Le jury qualifie le sujet de « longueur et difficulté adaptées au niveau moyen des candidats » et constate « un bon étalement des notes ». Il salue : « les questions de probabilités ont été traitées tout aussi valablement que celles portant sur d'autres parties du programme, ce qui montre que cette partie du programme a été aussi bien intégrée que les autres ». Difficulté évaluée ★★★★/5.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury observe que « les justifications des calculs et des raisonnements sont encore nettement perfectibles ». Stratégie clé : justifier proprement chaque étape, surtout en topologie (compacité, fermé, borné, dimension finie) et en probabilités (existence de l'espérance, croissance, indépendance via lemme des coalitions).
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Q1 : énoncer les trois propriétés de Sⁿ⁻¹ (fermé, borné, dimension finie) puis composition de continuités pour ‖M·‖. Q2 : énoncer ET établir les quatre propriétés de norme. Q3 : « M symétrique réelle, donc orthodiagonalisable EN BASE ORTHONORMÉE ». Q4 : Jₙ par théorème du rang + symétrie. Q8 : termes constants des séries entières non oubliés.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q6 : Cauchy-Schwarz, NE PAS écrire ‖Σ M·v_i‖² ≤ Σ ‖M·v_i‖² (faux sauf cas symétrique). Q9-Q10 : convexité (poids positifs sommant à 1) puis Markov. Q12 : Markov sur exp(tX). Q14 : λ = √(2 ln k / β²). Q15 : raisonnement par l'absurde CONSTRUCTIF (ne pas modifier A en cours), Q19 : lemme des coalitions explicité.
Gestion des 4h : 1h sur partie A (Q1-Q7, points sûrs), 1h30 sur partie B (Q8-Q14, mécanique probabiliste classique), 1h sur partie C (Q15-Q20, méthode du ε-net) et 30 min de relecture. Le jury note que « certains ont rédigé le sujet dans son intégralité », un sujet abordable jusqu'au bout pour qui maîtrise la rigueur.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Compacité = trois conditions : fermé, borné, dimension finie. Toujours énoncer les trois quand on invoque Bolzano-Weierstrass ou l'existence d'un max sur un compact.
- Théorème spectral = base ORTHONORMÉE : la diagonalisation d'une matrice symétrique réelle se fait en base orthonormée. Sans cette précision, l'identité ‖Σ x_i e_i‖² = Σ x_i² est fausse.
- Pas d'inégalités fausses sur les normes : ‖Σ v_i‖² ≤ Σ ‖v_i‖² ne vaut QUE si les v_i sont orthogonaux. Cauchy-Schwarz est l'arme correcte.
- Raisonnement par l'absurde CONSTRUCTIF : ne pas modifier les ensembles en cours d'argument (Q15). Construire explicitement la suite contredisant l'hypothèse de compacité.
- Indépendance via lemme des coalitions : pour exp(γ y_i²) issus de groupements disjoints de variables indépendantes (Q19). Ne pas affirmer l'indépendance « par évidence ».
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ