Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème propose l'étude de la norme d'une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes. Il aborde l'algèbre linéaire, l'analyse, un peu de topologie élémentaire (compacité de Sⁿ⁻¹) et les probabilités (variables aléatoires sous-gaussiennes, inégalité de concentration). Premier sujet Maths II MP exploitant l'introduction des probabilités dans le programme deux ans plus tôt.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q7 — Norme d'opérateur d'une matrice(Q1-Q7)Niveau attendu
Q1 : compacité de Sⁿ⁻¹ (trois propriétés : fermé, borné, dim finie) et existence de ‖M‖_op via continuité. Q2 : quatre propriétés de norme (positivité souvent oubliée, caractère défini bâclé). Q3 : cas symétrique (théorème spectral, base orthonormée). Q4 : Jₙ via rang. Q6 : Cauchy-Schwarz.
- Partie II — Q8-Q14 — Variables sous-gaussiennes(Q8-Q14)Difficile
Q8 : inégalités sur séries entières (terme constant souvent oublié). Q9 : convexité (coefficients positifs, somme 1). Q10 : E(exp(tX)) ≤ ch(t) via croissance + linéarité. Q11 : indépendance et espérance d'un produit. Q12 : Markov sur (X ≥ λ). Q14 : λ = √(2 ln k / β²).
- Partie III — Q15-Q20 — Méthode du ε-net et concentration(Q15-Q20)Très difficile
Q15 : recouvrement fini d'un compact par boules ε/2 — raisonnements souvent viciés (modification de A). Q16 : Λ fini, cardinal majoré. Q19 : indépendance via lemme des coalitions, Markov. Q20 : existence de a, inégalité finale ‖M^(n)‖_op — beaucoup l'abordent, certains rédigent le sujet entier.
Analyse globale du jury
« Le jury salue : « ce sujet était de longueur et de difficulté adaptées au niveau moyen des candidats, et qu'il a permis un bon étalement des notes ». Les questions de probabilités ont été « traitées tout aussi valablement que celles portant sur d'autres parties du programme, ce qui montre que cette partie du programme a été aussi bien intégrée que les autres ». Cependant : « les justifications des calculs et des raisonnements sont encore nettement perfectibles ». Conclusion du jury : « ce cahier des charges nous paraît avoir été rempli haut la main par le présent sujet ». »
Top pièges sanctionnés
Compacité de Sⁿ⁻¹ : trois propriétés non toutes mentionnées (Q1)-2 pts
« Les trois propriétés requises pour la compacité de Sⁿ⁻¹ (fermé, borné, en dimension finie) n'étaient pas toujours mentionnées ou établies. L'existence du maximum de ‖Mx‖ quand x décrit Sⁿ⁻¹ a donné lieu à de nombreuses erreurs ou omissions dans les raisonnements. »
Théorème spectral cité sans base orthonormée (Q3)-2 pts
« Il était essentiel de mentionner le fait qu'une telle matrice est diagonalisable dans une base orthonormée, et de se placer dans une telle base pour effectuer le raisonnement : en effet, si P est orthogonale, une égalité du type ‖Σ x_i e_i‖² = Σ ‖x_i e_i‖² ne vaut que dans une telle base. »
Inégalité fausse sur la somme des carrés (Q6)-2 pts
« Alors que cette inégalité découlait aisément de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons lu de nombreuses « démonstrations » recourant à des inégalités manifestement fausses, du genre ‖Σ Mx_i e_i‖² ≤ Σ ‖Mx_i e_i‖², laquelle ne vaut évidemment que si M est symétrique. »
Recouvrement fini : modification de A invalide la contradiction (Q15)-3 pts
« De nombreux raisonnements étaient viciés depuis le départ. […] Étant donné qu'on a modifié A, il n'y a en réalité pas de contradiction avec cette hypothèse ; tout ce qu'on a montré, c'est que pour tout élément x de K, il existe une partie finie A de K tel que x appartienne à ⋃ B(a, ε/2) ; mais il suffit de prendre A = {x}. Et surtout, on n'a absolument pas prouvé le résultat demandé. »
Volume d'une réunion de boules sans disjonction (Q17)-1 pts
« Il était nécessaire de préciser que si le volume de la réunion des boules B(a, ε/2) pour a ∈ Λ est égal à la somme de leurs volumes, c'est parce que ces boules sont deux à deux disjointes. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2015 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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