Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude des matrices dites de « distance euclidienne », i.e. matrices symétriques A=(ai,j) avec ai,j = dist(Xi,Xj)² pour (Xi) famille de points dans un espace euclidien. Construction de matrices de distance euclidienne ayant un spectre imposé. Cinq parties de difficulté variable, mais non progressive. Parties 1-2 abordables (algèbre linéaire, matrices orthogonales). Parties 3-4-5 progressivement plus difficiles (théorème spectral, projecteur P, exposants matriciels, etc.).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Construction de matrices particulières (Q1-Q4)(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 erreurs surprenantes (coefficients 0 au lieu de ±1). Q2 définition d'une matrice orthogonale méconnue ; caractérisation par déterminant erronée ; les colonnes/lignes constituent une famille orthonormale (plus simple que A^T A=In). Q3 parité de n via produit scalaire (pas déterminant).…
- Partie II — Partie 2 — Théorème spectral et sous-espaces (Q5-Q9)(Q5-Q9)Difficile
Q5 question de cours sur le théorème spectral — base orthonormée de vecteurs propres oubliée, Gram-Schmidt hors sujet ici. Q6 dim(A∪B) (pas un EV !), Vect(A)∩Vect(B)≠{0} ⇒ A∩B≠∅ (faux), ek ∉ Sk en général. Q7-Q8 décomposition dans une base inadaptée, vecteurs propres supposés à tort.…
- Partie III — Partie 3 — Projecteur P et sous-espaces caractéristiques (Q10-Q11)(Q10-Q11)Difficile
Q10 souvent seule la symétrie de P ; confusions inclusion/égalité pour les sous-espaces caractéristiques. Q11 conclusion absente.
- Partie IV — Partie 4 — Q16-Q18(Q12-Q18)Très difficile
Q16 bien traitée même par ceux qui n'avaient pas les questions précédentes. Q18 peu traitée, partiellement.
- Partie V — Partie 5 — Construction du spectre(Q19-)Très difficile
Les questions de cette partie n'ont été que rarement bien traitées.
Analyse globale du jury
« Le sujet comportait cinq parties de difficulté variable, mais non progressive. Les parties 1 et 2, plus abordables, ont permis d'évaluer les connaissances acquises et la maîtrise des bases de l'algèbre linéaire. Quelques questions qui semblaient accessibles dans les parties suivantes ont conduit à des compositions lacunaires, les candidats partant à la recherche des questions les plus abordables. Le jury a constaté que, bien souvent, un grand nombre de notions fondamentales n'étaient pas maîtrisées par les candidats, et que leurs réponses (y compris aux questions les plus faciles) manquaient de justifications satisfaisantes.… »
Top pièges sanctionnés
Q2 — caractérisation des matrices orthogonales par le déterminant-2 pts
« Beaucoup de candidats ne connaissent pas la définition d'une matrice orthogonale. Signalons au passage une caractérisation erronée des matrices orthogonales à l'aide du déterminant rencontrée trop souvent. Le plus simple était de dire que les colonnes (ou les lignes) constituent une famille orthonormale. Ceux qui ont utilisé la caractérisation A^T A = In se sont embarqués dans des calculs de coefficients indigestes qui peuvent remplir des pages. »
Q5 — théorème spectral et Gram-Schmidt hors sujet-2 pts
« Une trop grande partie des candidats semblent mal connaître le théorème spectral. L'existence d'une base orthonormée composée de vecteurs propres est oubliée (ou maladroitement redémontrée, en admettant alors le caractère diagonalisable), l'utilisation souvent citée du procédé de Gram-Schmidt est ici hors sujet. »
Q6 — dim(A∪B) et Vect(A)∩Vect(B)-2 pts
« On a pu lire dim(A ∪ B) la dimension d'une réunion d'espaces vectoriels, l'affirmation que Vect(A) ∩ Vect(B) ≠ {0} ⇒ A ∩ B ≠ ∅ et des démonstrations impliquant les dimensions des espaces très mal justifiées. »
Q6 — ek ∈ Sk en général (faux)-1 pts
« Un grand nombre de candidats ont pensé pouvoir extraire de la base (e1,…,en) de R^n une base du sous-espace vectoriel Sk, ou alors sont persuadés que ek appartient à Sk, ce qui est faux en général. »
Q7-Q8 — vecteurs propres supposés pour tous les vecteurs-2 pts
« Beaucoup de candidats ont décomposé les vecteurs dans une base inadaptée (x1,…,xn) avant de procéder à une minoration du produit scalaire erronée. Beaucoup font des calculs en s'imaginant que tous les vecteurs de R^n sont des vecteurs propres de f. »
Pages de calculs = signe d'erreur-1 pts
« Trop de candidats perdent beaucoup de temps en des développements qui partent d'une bonne intention, mais sont beaucoup trop longs. En outre, des pages et des pages de calculs sont très certainement signe d'erreur de départ ou de méthode inadaptée. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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