Top piège du sujet
Confusion polynôme caractéristique scindé / matrice diagonalisable
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.16
Médiane
8.2
Écart-type
4.01
Q1 (25%)
5.5
Q3 (75%)
10.9
Candidats présents
2 690
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Maths A 2024 (moyenne 8.16, σ=4.01) confirme la difficulté maximale de l'épreuve X-ENS, plus discriminante que Centrale (9.19) ou CCINP (10+) sur la même session. La rupture se fait dans la partie 2 (arithmétique + asymptotique fine) où la chute du nombre de réponses est nette dès Q20. Le jury rappelle qu'on n'avait PAS besoin de tout traiter pour viser une excellente note.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 2 parties indépendantes, toutes deux centrées sur la démonstration d'une estimée asymptotique. Partie 1 : étude probabiliste sur l'ensemble des permutations Sₙ (signature, points fixes, nombre de cycles), avec démonstration d'une faible déviation du nombre de cycles autour de ln n. Partie 2 : comportement asymptotique de ω(n), nombre de facteurs premiers de n, autour de ln(ln n).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Permutations aléatoires et nombre de cycles(Q1-Q15)Difficile
Algèbre linéaire (diagonalisation, changement de base), combinatoire (dénombrement, binôme de Newton), comparaisons asymptotiques. Partie largement abordée dans sa globalité.
- Partie II — Densité asymptotique de ω(n)(Q16-Q23)Très difficile
Résultats d'arithmétique (lemme de Gauss), analyse, intégrales et comparaisons asymptotiques. Le nombre de réponses chute significativement à partir de Q20.a.
Analyse globale du jury
« Le sujet présentait une longueur raisonnable, mais la difficulté des dernières questions de la seconde partie était particulièrement élevée : ainsi, peu de candidats ont pu traiter l'épreuve dans sa totalité. La première partie a été largement abordée dans sa globalité, tandis que la seconde partie n'a pas rencontré le même succès, le nombre de réponses à partir de la question 20.a. diminuant significativement. Soulignons qu'il était d'ailleurs parfaitement possible de commencer sa composition en traitant en premier lieu la seconde partie, stratégie qui n'a été adoptée que dans quelques rares copies. »
Top pièges sanctionnés
Confusion polynôme caractéristique scindé / matrice diagonalisable-2 pts
« Une erreur surprenante, mais récurrente, était l'affirmation que le polynôme (X−1)^(n−1)·(X−1+n) est scindé à racines simples, ou, de manière en quelque sorte équivalente, qu'une matrice est diagonalisable dès lors que son polynôme caractéristique est scindé. »
Comparaisons asymptotiques mal manipulées (o(1) vs O((ln n)/n))-2 pts
« La manipulation des comparaisons asymptotiques n'est pas maitrisée, et de nombreux candidats ont ainsi affirmé par exemple qu'un o(1) était nécessairement un O((ln n)/n). »
Raisonner avec des équivalents au lieu d'un développement limité-2 pts
« Une autre erreur fréquente était de raisonner avec des équivalents, sans comprendre que le résultat demandé était un developpement limité beaucoup plus fin. »
Lemme de Gauss mal intégré-1 pts
« L'utilisation du lemme de Gauss n'est pas correctement intégrée. »
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev au lieu de Markov en Q15-2 pts
« L'erreur largement répandue fut d'invoquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev au lieu de l'inégalité de Markov, la première faisant intervenir l'espérance de la variable aléatoire qui différait du terme ln n duquel on observait la déviation. »
Survoler le sujet à la pêche aux points faciles-3 pts
« La stratégie de survoler le sujet en ne répondant qu'aux questions les plus simples ne permet pas d'aboutir à une note satisfaisante. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2024 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths A X-ENS MP 2024 (sigle officiel XLSR : Polytechnique + ENS Lyon, Paris-Saclay, Rennes) s'est déroulée le 22 avril 2024 en 4 heures, coefficient 7 à l'admissibilité X. Sujet commun aux filières MP et MPI, avec quelques questions optionnelles spécifiques.
Le sujet, sans titre officiel, mêlait probabilités sur les permutations et arithmétique des nombres premiers. Deux parties indépendantes mais à objectif similaire : démontrer une estimée asymptotique fine. Partie 1 : faible déviation du nombre de cycles d'une permutation aléatoire autour de ln n. Partie 2 : densité asymptotique nulle des entiers n pour lesquels ω(n) dévie de ln(ln n).
2690 candidats présents (toutes filières et nationalités). La moyenne brute s'est établie à 8.16/20, écart-type 4.01. Le rapport ne fournit pas Q1/Q3, les valeurs ci-dessus sont une approximation gaussienne tronquée [0;20]. C'est la moyenne la plus basse des trois grandes épreuves de maths concours MP 2024 (Maths A 8.16, Maths B 9.14, Centrale 9.19), confirmant le statut de l'épreuve la plus discriminante.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2024 souligne explicitement que « il n'était pas nécessaire de traiter l'ensemble du sujet pour obtenir une excellente note » et que « la stratégie de survoler le sujet en ne répondant qu'aux questions les plus simples ne permet pas d'aboutir à une note satisfaisante ». Le barème X-ENS récompense la rédaction approfondie de quelques questions clés.
Si tu vises 8-11/20 (médiane à top 30%)
Concentre-toi sur la partie 1 jusqu'à Q15, ou bascule sur le début de la partie 2 (Q16-Q19) si tu maîtrises mieux l'analyse que la combinatoire. Q1.a, 1.b, 2, 5.a, 5.c, 7, 8 sont des points faciles à sécuriser. Évite Q9 (dénombrement délicat) et Q14.a (asymptotique fine).
Si tu vises 14+ (top 5%, barre Polytechnique)
Il faut traiter Q14.a (asymptotique fine, distinguer O(1/n) de o(1)) et Q15 (inégalité de Markov, attention à l'espérance de la VA). Et au moins entrer dans la partie 2 jusqu'à Q19.d. Q22-Q23 sont sacrifiables.
Gestion des 4h : 1h45 sur la partie 1 (Q1 à Q15, en sautant Q9 et 10.b si tu bloques), 1h30 sur la partie 2 (Q16 à Q21.a, sans dépasser), 30 min de relecture et rédaction propre. Le jury rappelle qu'il « était parfaitement possible de commencer sa composition en traitant en premier lieu la seconde partie », stratégie payante si tu es plus à l'aise en analyse qu'en algèbre.
Conseils du jury
Quatre conseils transversaux
- Tout résultat hors programme ne peut être utilisé sans démonstration préalable.
- Rédaction rigoureuse et soignée, mise en valeur claire de la structure (numérotation, présentation des résultats). Un soin minimal et une écriture lisible sont exigés.
- Pondération proportionnelle à la difficulté : prendre le temps de fournir une rédaction correcte, y compris pour les résultats élémentaires.
- Utilisation de résultats antérieurs : préciser la question ET le résultat utilisé, expliquer comment l'argumentation s'articule. Toute formulation vague est sanctionnée.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ