Effet Doppler : principe, formule et exercices

Une ambulance passe : sa sirène semble plus aiguë quand elle s'approche, puis franchement plus grave dès qu'elle s'éloigne. Ce changement de hauteur, tu ne l'imagines pas, c'est de la physique : c'est l'effet Doppler. Le même phénomène permet aux radars de mesurer ta vitesse, aux médecins de suivre la circulation du sang, et aux astronomes de découvrir que les galaxies s'éloignent les unes des autres.

Le principe de l'effet Doppler

Une source émet une onde de fréquence $f$ (le nombre de fronts d'onde produits chaque seconde). Tant que la source et l'observateur sont immobiles l'un par rapport à l'autre, l'observateur reçoit exactement $f$ fronts par seconde : il perçoit la même fréquence. Tout change dès qu'il y a mouvement relatif.

Imagine la source qui se rapproche. Entre l'émission de deux fronts successifs, elle a un peu avancé vers toi. Chaque nouveau front part donc d'un point plus proche : les fronts se resserrent. Tu les reçois plus rapprochés dans le temps, donc plus nombreux par seconde. Résultat :

• Rapprochement : longueur d'onde perçue plus courte, fréquence perçue plus élevée (son plus aigu, lumière décalée vers le bleu).
• Éloignement : longueur d'onde perçue plus longue, fréquence perçue plus basse (son plus grave, lumière décalée vers le rouge).

Ce raisonnement suppose de bien comprendre ce qu'est une onde, sa célérité et sa longueur d'onde : si ces notions te semblent floues, révise d'abord notre cours sur les ondes mécaniques et la célérité.

La relation entre décalage et vitesse

Au niveau Terminale, on retient une relation approchée, valable tant que la vitesse relative $v$ reste petite devant la célérité $c$ de l'onde. En notant $\Delta f = \lvert f_{\text{perçue}} - f_{\text{émise}} \rvert$ le décalage de fréquence :

où $f$ est la fréquence émise et $v$ la vitesse relative radiale entre la source et l'observateur. Comme la longueur d'onde et la fréquence sont liées par $\lambda = c/f$, la même relation s'écrit en longueur d'onde :

Attention aux unités : $c$ vaut environ $340 \ \text{m·s}^{-1}$ pour le son dans l'air, et $c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \text{m·s}^{-1}$ pour la lumière. La vitesse $v$ doit être exprimée dans la même unité que $c$ (des m·s⁻¹), pas en km/h.

Trois applications au programme

L'effet Doppler n'est pas qu'une curiosité de sirène : c'est un outil de mesure de vitesse partout où la mesure directe est impossible.

Radar routier et cinémomètre

Le cinémomètre émet une onde de fréquence connue $f$ vers un véhicule. L'onde est d'abord reçue par la voiture (qui joue le rôle d'observateur en mouvement), puis réfléchie vers le radar (la voiture joue alors le rôle de source en mouvement). L'onde subit donc deux fois l'effet Doppler, ce qui double le décalage :

En mesurant $\Delta f$, l'appareil remonte à la vitesse $v = \dfrac{c\,\Delta f}{2 f}$ du véhicule. C'est l'objet de l'exercice 2 plus bas.

Débitmétrie sanguine (échographie Doppler)

En médecine, une sonde envoie des ultrasons dans un vaisseau. Ils sont réfléchis par les globules rouges en mouvement et renvoyés vers la sonde, exactement comme pour le radar (double effet Doppler). Le décalage de fréquence mesuré donne la vitesse d'écoulement du sang, ce qui permet de détecter un rétrécissement d'artère ou de suivre un flux cardiaque, sans aucune opération.

Décalage vers le rouge en astrophysique

Chaque atome émet ou absorbe la lumière à des longueurs d'onde bien précises : ce sont les raies spectrales (revois notre article sur les spectres et la longueur d'onde). En comparant les raies d'une galaxie à celles mesurées au laboratoire, les astronomes constatent qu'elles sont décalées vers les grandes longueurs d'onde, donc vers le rouge. C'est le décalage vers le rouge (redshift), signe que la galaxie s'éloigne de nous. On mesure $z = \Delta\lambda / \lambda$, et la vitesse d'éloignement vaut $v = z\,c$ dans l'approximation de Terminale. Plus une galaxie est lointaine, plus elle s'éloigne vite : c'est l'un des indices de l'expansion de l'Univers.

La méthode de résolution pas à pas

Presque tous les exercices Doppler se traitent avec le même enchaînement. Applique-le systématiquement.

1. Identifier l'onde et sa célérité. Son dans l'air : $c \approx 340 \ \text{m·s}^{-1}$. Lumière ou onde radar : $c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \text{m·s}^{-1}$.
2. Repérer le sens du mouvement. Rapprochement (fréquence qui monte, $\lambda$ qui diminue) ou éloignement (l'inverse) ? Le sens fixe le signe du décalage.
3. Choisir la bonne relation. Mesure directe : $\Delta f / f = v/c$. Onde réfléchie (radar, écho) : $\Delta f = 2 f v / c$.
4. Convertir les unités. $v$ en m·s⁻¹, longueurs d'onde souvent en nm à convertir en m ($1 \ \text{nm} = 10^{-9} \ \text{m}$).
5. Calculer, puis vérifier la cohérence. Le décalage $\Delta f$ doit être très petit devant $f$ (c'est ce qui valide l'approximation). Un résultat aberrant signale une erreur d'unité.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et au bac, ce sont toujours les mêmes maladresses qui coûtent des points. Les connaître, c'est les éviter.

1. Inverser rapprochement et éloignement. Rapprochement $\Rightarrow$ fréquence plus élevée et $\lambda$ plus courte. Beaucoup écrivent l'inverse par réflexe. Reviens à l'image des fronts d'onde qui se resserrent.
2. Oublier le facteur 2 du radar. Pour une onde émise puis réfléchie, $\Delta f = 2 f v / c$. Sans le 2, la vitesse calculée est deux fois trop grande.
3. Mélanger les unités de $v$ et de $c$. Si $c$ est en m·s⁻¹, alors $v$ doit l'être aussi. Une vitesse donnée en km/h se convertit d'abord ($1 \ \text{km/h} = 1/3{,}6 \ \text{m·s}^{-1}$).
4. Confondre $\Delta f$ et $f_{\text{perçue}}$. $\Delta f$ est le décalage, pas la fréquence reçue. La fréquence perçue vaut $f \pm \Delta f$ selon le sens du mouvement.
5. Utiliser la formule hors de son domaine. $\Delta f / f = v/c$ n'est valable que pour $v \ll c$. Pour une galaxie très lointaine dont $v$ approche $c$, la relation approchée de Terminale ne s'applique plus (traitement relativiste hors programme).

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, la sirène d'ambulance

Énoncé. Une ambulance émet une sirène de fréquence $f = 680 \ \text{Hz}$ et roule à $v = 25 \ \text{m·s}^{-1}$ (soit $90 \ \text{km/h}$) droit vers un piéton immobile. La célérité du son dans l'air vaut $c = 340 \ \text{m·s}^{-1}$. Quelle fréquence le piéton perçoit-il à l'approche ?

Solution. On calcule d'abord le décalage avec la relation directe $\Delta f / f = v/c$ :

L'ambulance se rapproche, donc la fréquence perçue est plus élevée : on ajoute le décalage.

Résultat : le piéton entend un son à environ $730 \ \text{Hz}$, plus aigu que les $680 \ \text{Hz}$ émis. Quand l'ambulance se sera éloignée, il percevra symétriquement $680 - 50 = 630 \ \text{Hz}$, plus grave.

Exercice 2, le radar routier

Énoncé. Un cinémomètre émet une onde de fréquence $f = 24{,}0 \ \text{GHz}$ vers une voiture. L'onde réfléchie revient avec un décalage $\Delta f = 4{,}00 \ \text{kHz}$. Avec $c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \text{m·s}^{-1}$, déterminer la vitesse de la voiture, puis conclure sur un excès de vitesse en ville (limite $50 \ \text{km/h}$).

Solution. L'onde est émise puis réfléchie : c'est un double effet Doppler, $\Delta f = \dfrac{2\,f\,v}{c}$. On isole $v$ :

On convertit en km/h : $v = 25 \times 3{,}6 = 90 \ \text{km/h}$.

Résultat : la voiture roule à $90 \ \text{km/h}$, très au-dessus de la limite de $50 \ \text{km/h}$. On vérifie au passage que $\Delta f = 4{,}00 \ \text{kHz}$ est minuscule devant $f = 24{,}0 \ \text{GHz}$, ce qui confirme la validité de l'approximation.

Exercice 3, le décalage vers le rouge d'une galaxie

Énoncé. Une raie spectrale émise au laboratoire à $\lambda_0 = 500{,}0 \ \text{nm}$ est observée à $\lambda = 510{,}0 \ \text{nm}$ dans le spectre d'une galaxie. Avec $c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \text{m·s}^{-1}$, déterminer si la galaxie s'approche ou s'éloigne, puis calculer sa vitesse radiale.

Solution. La longueur d'onde observée est plus grande que celle émise ($510{,}0 > 500{,}0 \ \text{nm}$) : c'est un décalage vers le rouge, donc la galaxie s'éloigne. On calcule le décalage relatif :

Comme $z \ll 1$, l'approximation de Terminale $v = z\,c$ s'applique :

Résultat : la galaxie s'éloigne à $v = 6{,}00 \times 10^{6} \ \text{m·s}^{-1}$, soit $6{,}00 \times 10^{3} \ \text{km·s}^{-1}$. Cette vitesse reste petite devant $c$ (2 % de la célérité de la lumière), ce qui justifie l'usage de la formule non relativiste.

Ce triptyque son – radar – astrophysique est exactement celui que nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, font travailler en priorité : un même phénomène, une même relation $\Delta f / f = v/c$, et trois contextes qui reviennent chaque année au bac comme dès les premières semaines de prépa.

Ce qu'il faut retenir

• Le principe : le mouvement relatif source–observateur décale la fréquence perçue. Rapprochement $\Rightarrow$ fréquence plus élevée et $\lambda$ plus courte ; éloignement $\Rightarrow$ l'inverse.
• La relation : $\dfrac{\Delta f}{f} = \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = \dfrac{v}{c}$, valable pour $v \ll c$. Elle donne la valeur du décalage ; le sens fixe le signe.
• Le cas réfléchi : radar et échographie doublent le décalage, $\Delta f = \dfrac{2 f v}{c}$. Ne jamais oublier le facteur 2.
• Les célérités : $c \approx 340 \ \text{m·s}^{-1}$ pour le son dans l'air, $c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \text{m·s}^{-1}$ pour la lumière.
• L'astrophysique : décalage vers le rouge $\Rightarrow$ galaxie qui s'éloigne, avec $v = z\,c$ et $z = \Delta\lambda / \lambda$.

L'effet Doppler est un classique du chapitre « ondes » de Terminale, souvent posé au bac sous forme d'un exercice de mesure de vitesse ou d'analyse spectrale. C'est aussi un excellent sujet de Grand oral de physique-chimie, à la fois concret et riche en applications. Pour t'entraîner sur des sujets complets, va voir nos annales de physique-chimie corrigées.

Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de physique de Terminale spécialité, et solidifie les bases du chapitre ondes avec notre cours sur les ondes mécaniques et la célérité.