Quelles sont les quatre équations de Maxwell ?

Sous forme locale, ce sont : Maxwell-Gauss, div E = ρ/ε₀ (le champ électrique diverge des charges) ; Maxwell-flux, div B = 0 (le champ magnétique est à flux conservatif, pas de monopôle magnétique) ; Maxwell-Faraday, rot E = −∂B/∂t (un champ magnétique variable crée un champ électrique à circulation non nulle) ; et Maxwell-Ampère, rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ ∂E/∂t (les courants et un champ électrique variable créent un champ magnétique). Ces quatre équations, complétées par la force de Lorentz, résument tout l'électromagnétisme classique.

Que signifie l'équation de Maxwell-Gauss ?

Maxwell-Gauss, div E = ρ/ε₀, est la version locale du théorème de Gauss. Elle dit que les lignes de champ électrique naissent des charges positives et se terminent sur les charges négatives : la divergence du champ en un point est proportionnelle à la densité volumique de charge ρ à cet endroit. Là où il n'y a pas de charge (ρ = 0), le champ électrostatique est à flux conservatif. C'est l'équation qui relie le champ à ses sources scalaires.

À quoi sert le terme de courant de déplacement dans Maxwell-Ampère ?

Le courant de déplacement est le terme μ₀ε₀ ∂E/∂t ajouté par Maxwell dans l'équation rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ ∂E/∂t. Sans lui, l'équation serait incompatible avec la conservation de la charge (car div rot B = 0 impose div j = 0, ce qui est faux en régime variable). Ce terme permet à un champ électrique variable de créer un champ magnétique, même en l'absence de courant de conduction. C'est lui qui rend possible la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.

Comment obtient-on l'équation de propagation d'une onde électromagnétique ?

Dans le vide sans charges ni courants (ρ = 0, j = 0), on prend le rotationnel de Maxwell-Faraday, on utilise l'identité rot(rot E) = grad(div E) − ΔE avec div E = 0, puis on remplace rot B par Maxwell-Ampère. On obtient l'équation de d'Alembert ΔE − (1/c²) ∂²E/∂t² = 0, avec c = 1/√(ε₀μ₀). Le champ B vérifie la même équation. La grandeur c apparaît naturellement comme la célérité de l'onde : c'est la vitesse de la lumière dans le vide.

Quelle est la structure d'une onde électromagnétique plane dans le vide ?

Une onde plane progressive électromagnétique dans le vide est transverse : les champs E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation (donnée par le vecteur d'onde k) et perpendiculaires entre eux. Le trièdre (E, B, k) est direct, et les normes sont liées par E = cB. Les champs sont en phase et E, B, et la direction de propagation forment un repère orthogonal. Cette structure découle directement des équations de Maxwell appliquées à une onde plane.

Équations de Maxwell : cours et méthode en prépa

Les équations de Maxwell sont le sommet de l'électromagnétisme de prépa : quatre équations locales suffisent à décrire tous les phénomènes électriques et magnétiques, du condensateur qui se charge à la lumière qui traverse le vide. Là où le lycée juxtaposait des lois isolées (Gauss, Ampère, Faraday), la Spé les unifie et révèle leur cohérence, jusqu'à faire surgir la vitesse de la lumière d'un simple calcul.

Les champs et leurs sources

Une distribution de charges et de courants crée en tout point de l'espace un champ électromagnétique, décrit par deux champs de vecteurs : le champ électrique $\vec{E}(M, t)$ et le champ magnétique $\vec{B}(M, t)$ . Leur effet sur une charge test $q$ animée d'une vitesse $\vec{v}$ se lit dans la force de Lorentz :

\vec{F} = q\bigl(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}\bigr).

Les sources de ces champs sont décrites par deux grandeurs locales : la densité volumique de charge $\rho$ (en C·m⁻³) et le vecteur densité de courant $\vec{j}$ (en A·m⁻²). Elles ne sont pas indépendantes : la charge se conserve, ce qu'exprime l'équation de conservation

\operatorname{div}\vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.

L'idée à retenir. Les équations de Maxwell forment un système : elles relient les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ à leurs sources $\rho$ et $\vec{j}$ , mais aussi les deux champs entre eux. Deux constantes fondamentales y interviennent, la permittivité du vide $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12}$ F·m⁻¹ et la perméabilité du vide $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H·m⁻¹. Retiens dès maintenant leur produit : $\varepsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ .

Maxwell-Gauss : le champ électrique et les charges

La première équation, dite de Maxwell-Gauss, relie le champ électrique à la densité de charge présente au point considéré :

\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

C'est la forme locale du théorème de Gauss. La divergence mesure le caractère « source » ou « puits » d'un champ en un point : là où $\rho > 0$ (charge positive), les lignes de champ divergent, elles naissent ; là où $\rho < 0$ , elles convergent, elles se terminent. Dans une région sans charge ( $\rho = 0$ ), le champ électrique est à flux conservatif.

Interprétation physique. Maxwell-Gauss dit que les charges sont les sources scalaires du champ électrique. En intégrant sur un volume et en appliquant le théorème de Green-Ostrogradski, on retrouve le théorème de Gauss sous sa forme intégrale : le flux de $\vec{E}$ à travers une surface fermée vaut $Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ . La version locale est simplement plus fine : elle est vraie en chaque point.

Maxwell-flux : pas de charge magnétique

La deuxième équation, dite de Maxwell-flux (ou Maxwell-Thomson), est la plus courte et l'une des plus profondes :

\operatorname{div}\vec{B} = 0.

Le champ magnétique est donc à flux conservatif partout, sans exception. Contrairement au champ électrique, il n'a ni source ni puits : ses lignes de champ ne peuvent ni commencer ni finir quelque part, elles se referment toujours sur elles-mêmes.

Interprétation physique. Cette équation traduit l'absence de monopôle magnétique : il n'existe pas de « charge magnétique » isolée équivalente à la charge électrique. On ne peut pas séparer le pôle nord et le pôle sud d'un aimant. C'est pour cela que le second membre est nul, alors que celui de Maxwell-Gauss contient $\rho$ . Conséquence pratique : le flux de $\vec{B}$ à travers toute surface fermée est nul.

Maxwell-Faraday : l'induction

La troisième équation, dite de Maxwell-Faraday, couple pour la première fois les deux champs. Un champ magnétique variable dans le temps engendre un champ électrique dont le rotationnel n'est pas nul :

\operatorname{rot}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.

Le rotationnel mesure la tendance d'un champ à « tourner » autour d'un point. Ici, un $\vec{B}$ qui varie crée un champ électrique à circulation non nulle, capable de mettre des charges en mouvement le long d'une boucle : c'est l'origine microscopique de la force électromotrice induite. C'est la version locale de la loi de Faraday, elle-même au cœur de l'induction électromagnétique et des lois de Lenz-Faraday.

Interprétation physique. En régime stationnaire, $\partial \vec{B}/\partial t = \vec{0}$ , donc $\operatorname{rot}\vec{E} = \vec{0}$ : le champ électrostatique dérive alors d'un potentiel $\vec{E} = -\operatorname{grad} V$ . Dès que le champ magnétique varie, cette propriété tombe : le champ électrique n'est plus purement de gradient, il acquiert une composante à circulation, celle qui « pousse » les charges dans un circuit. Le signe moins encode la loi de modération de Lenz.

Maxwell-Ampère et le courant de déplacement

La quatrième équation, dite de Maxwell-Ampère, relie le champ magnétique à ses sources. Elle contient l'apport le plus original de Maxwell :

\operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Le premier terme, $\mu_0 \vec{j}$ , est le théorème d'Ampère habituel : les courants de conduction créent un champ magnétique tourbillonnant. Le second terme, $\mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ , est le courant de déplacement, ajouté par Maxwell : un champ électrique variable agit comme une source de $\vec{B}$ , exactement comme un vrai courant.

Pourquoi ce terme est-il indispensable ? Parce que la divergence d'un rotationnel est toujours nulle. En prenant la divergence de l'équation, on obtient $0 = \mu_0 \operatorname{div}\vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial}{\partial t}(\operatorname{div}\vec{E})$ . En y injectant Maxwell-Gauss, on retrouve exactement l'équation de conservation de la charge $\operatorname{div}\vec{j} + \partial_t \rho = 0$ . Sans le courant de déplacement, Maxwell-Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge en régime variable.

Le point décisif. Le courant de déplacement est ce qui rend possible la propagation d'ondes dans le vide. Là, $\vec{j} = \vec{0}$ , mais un $\vec{E}$ variable crée un $\vec{B}$ (Maxwell-Ampère), qui en variant crée un $\vec{E}$ (Maxwell-Faraday) : les deux champs s'entretiennent mutuellement et l'ensemble se propage. C'est la brique conceptuelle qui a permis à Maxwell de prédire les ondes électromagnétiques, la lumière comprise.

Les quatre équations en un coup d'œil

Voici le système complet, à connaître par cœur avec son interprétation. C'est le socle de tout le chapitre.

Nom	Forme locale	Ce qu'elle dit
Maxwell-Gauss	$\operatorname{div}\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$	Les charges sont sources du champ électrique.
Maxwell-flux	$\operatorname{div}\vec{B} = 0$	Pas de charge magnétique ; $\vec{B}$ à flux conservatif.
Maxwell-Faraday	$\operatorname{rot}\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	Un $\vec{B}$ variable crée un $\vec{E}$ (induction).
Maxwell-Ampère	$\operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$	Courants et $\vec{E}$ variable créent un $\vec{B}$ .

Astuce de mémorisation. Les deux équations en $\operatorname{div}$ décrivent les sources (charges pour $\vec{E}$ , rien pour $\vec{B}$ ), les deux équations en $\operatorname{rot}$ décrivent le couplage temporel entre les champs. Maxwell-Gauss et Maxwell-flux fixent « d'où partent » les lignes de champ ; Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère disent « comment un champ variable en engendre un autre ». C'est cette symétrie qui produit les ondes.

L'onde électromagnétique dans le vide

Plaçons-nous dans le vide, loin de toute source : $\rho = 0$ et $\vec{j} = \vec{0}$ . Les quatre équations deviennent

\operatorname{div}\vec{E} = 0, \quad \operatorname{div}\vec{B} = 0, \quad \operatorname{rot}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Pour obtenir une équation portant sur $\vec{E}$ seul, on prend le rotationnel de Maxwell-Faraday et on utilise l'identité d'analyse vectorielle $\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{E}) = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E}$ . Comme $\operatorname{div}\vec{E} = 0$ :

\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{E}) = -\Delta\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\operatorname{rot}\vec{B}\bigr) = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}.

On aboutit à l'équation de d'Alembert, l'équation de propagation des ondes, dans laquelle apparaît naturellement une célérité :

\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}, \qquad \text{avec} \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}.

Le champ magnétique $\vec{B}$ vérifie rigoureusement la même équation. Le calcul numérique donne $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} \approx 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ : c'est la vitesse de la lumière dans le vide. Maxwell en a déduit, dès 1865, que la lumière est une onde électromagnétique. On retrouve la même structure de d'Alembert que pour les ondes et l'équation de d'Alembert étudiées par ailleurs.

Règle d'or. La célérité ne se pose pas « à la main » : elle sort du calcul, comme le facteur devant $\partial_t^2$ dans l'équation de d'Alembert. C'est le grand résultat du chapitre : trois constantes purement électrique et magnétique, $\varepsilon_0$ et $\mu_0$ , déterminent la vitesse de la lumière. Retiens la relation $\varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1$ , on la réutilise sans arrêt.

Structure de l'onde plane progressive

La solution modèle est l'onde plane progressive harmonique, se propageant dans une direction fixée par le vecteur d'onde $\vec{k}$ . En notation complexe, les champs s'écrivent

\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0\, e^{\,i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}, \qquad \underline{\vec{B}} = \vec{B}_0\, e^{\,i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})},

avec la relation de dispersion $\omega = c\,k$ (obtenue en injectant l'onde plane dans l'équation de d'Alembert). Sur ces ondes, les opérateurs se simplifient : $\operatorname{div} \to -i\vec{k}\cdot$ et $\operatorname{rot} \to -i\vec{k}\wedge$ , tandis que $\partial_t \to i\omega$ . Traduisons les équations de Maxwell dans le vide :

Maxwell-Gauss ( $\operatorname{div}\vec{E} = 0$ ) donne $\vec{k}\cdot\vec{E}_0 = 0$ : le champ électrique est perpendiculaire à la direction de propagation.
Maxwell-flux ( $\operatorname{div}\vec{B} = 0$ ) donne $\vec{k}\cdot\vec{B}_0 = 0$ : le champ magnétique est lui aussi transverse.
Maxwell-Faraday donne $-i\vec{k}\wedge\vec{E}_0 = -i\omega\,\vec{B}_0$ , soit $\vec{B} = \dfrac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega}$ : le champ magnétique est perpendiculaire à $\vec{E}$ .

L'onde électromagnétique dans le vide est donc transverse : $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont tous deux orthogonaux à $\vec{k}$ , et orthogonaux entre eux. Le trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ est direct, les champs sont en phase, et leurs normes sont liées par

\|\vec{E}\| = c\,\|\vec{B}\|.

Le réflexe à acquérir. Pour une onde plane dans le vide, ne recalcule jamais tout : retiens le triplet $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ orthogonal direct et $E = cB$ . Connaissant $\vec{E}$ et la direction $\vec{k}$ , tu déduis $\vec{B}$ en une ligne par $\vec{B} = \dfrac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega} = \dfrac{\vec{u}\wedge\vec{E}}{c}$ , où $\vec{u} = \vec{k}/k$ . C'est le calcul type des concours.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de concours, les mêmes maladresses reviennent sur les équations de Maxwell. Les repérer, c'est sécuriser des points.

Oublier le courant de déplacement. En régime variable, $\operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0\vec{j}$ est faux : le terme $\mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\vec{E}$ est indispensable. Sans lui, pas de propagation et incompatibilité avec la conservation de la charge.
Confondre les deux membres nuls. $\operatorname{div}\vec{B} = 0$ (toujours, pas de monopôle), mais $\operatorname{div}\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ n'est nul que là où il n'y a pas de charge. Ne pas symétriser abusivement $\vec{E}$ et $\vec{B}$ .
Perdre le signe moins de Maxwell-Faraday. $\operatorname{rot}\vec{E} = -\,\partial_t\vec{B}$ . Ce signe encode la loi de Lenz ; l'oublier fausse tout raisonnement sur le sens du champ induit.
Poser $c$ « à la main ». La célérité doit émerger du calcul comme $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ . L'écrire d'emblée sans passer par l'équation de d'Alembert fait perdre le résultat central du chapitre.
Se tromper d'orientation du trièdre. C'est $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ qui est direct, pas $(\vec{B}, \vec{E}, \vec{k})$ . Vérifie avec $\vec{B} = \vec{u}\wedge\vec{E}/c$ où $\vec{u}$ pointe dans le sens de propagation.

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, cohérence avec la conservation de la charge

Énoncé. Montrer que le terme de courant de déplacement dans Maxwell-Ampère est nécessaire pour que l'équation soit compatible avec la conservation de la charge $\operatorname{div}\vec{j} + \partial_t\rho = 0$ .

Solution. Partons de Maxwell-Ampère et prenons-en la divergence. Or, pour tout champ, $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{B}) = 0$ identiquement. Donc :

0 = \operatorname{div}\!\left(\mu_0\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = \mu_0\operatorname{div}\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\operatorname{div}\vec{E}\bigr).

On injecte Maxwell-Gauss, $\operatorname{div}\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ , dans le second terme :

0 = \mu_0\operatorname{div}\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right) = \mu_0\left(\operatorname{div}\vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t}\right).

Résultat. On retrouve exactement $\operatorname{div}\vec{j} + \partial_t\rho = 0$ . Sans le courant de déplacement, on aurait $\operatorname{div}\vec{j} = 0$ , faux dès qu'une charge s'accumule (condensateur en charge). Le terme de Maxwell est donc imposé par la conservation de la charge.

Exercice 2, valeur de la célérité

Énoncé. À partir de $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ , avec $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}$ F·m⁻¹ et $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H·m⁻¹, calculer $c$ et vérifier l'ordre de grandeur.

Solution. Calculons d'abord le produit :

\varepsilon_0\mu_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \times 4\pi \times 10^{-7} \approx 1{,}11 \times 10^{-17} \ \text{s}^2\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

On en tire la célérité :

c = \frac{1}{\sqrt{1{,}11 \times 10^{-17}}} \approx 3{,}00 \times 10^{8} \ \text{m·s}^{-1}.

Résultat. On obtient bien la vitesse de la lumière dans le vide, $c \approx 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹. La coïncidence entre cette valeur, issue de constantes électromagnétiques, et la vitesse mesurée de la lumière est le fondement de l'optique ondulatoire.

Exercice 3, structure d'une onde plane

Énoncé. Une onde plane progressive harmonique se propage dans le vide selon $Oz$ ( $\vec{k} = k\,\vec{e}_z$ , $\omega = ck$ ). Son champ électrique est $\vec{E} = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_x$ . Déterminer $\vec{B}$ et vérifier la structure de l'onde.

Solution. L'onde est transverse : $\vec{E}$ est bien orthogonal à $\vec{k}$ (selon $\vec{e}_x$ , avec $\vec{k}$ selon $\vec{e}_z$ ). Le champ magnétique se déduit de la relation de structure $\vec{B} = \dfrac{\vec{u}\wedge\vec{E}}{c}$ avec $\vec{u} = \vec{e}_z$ :

\vec{B} = \frac{\vec{e}_z \wedge \vec{E}}{c} = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - kz)\;(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_y.

On vérifie la cohérence avec Maxwell-Faraday, $\operatorname{rot}\vec{E} = -\partial_t\vec{B}$ . Avec $\vec{E} = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_x$ , seul $\partial_z E_x$ est non nul, et $\operatorname{rot}\vec{E} = \partial_z E_x\,(\vec{e}_z\wedge\vec{e}_x)\cdot(\dots)$ conduit bien, après calcul, à $\vec{B} = \dfrac{E_0}{c}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_y$ .

Résultat. Le champ magnétique vaut $\vec{B} = \dfrac{E_0}{c}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_y$ . On vérifie que $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ , soit $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ , forme un trièdre direct, que les champs sont en phase, et que $\|\vec{E}\| = c\|\vec{B}\|$ .

Ces automatismes, traduire les opérateurs sur une onde plane et lire la structure du trièdre, sont exactement ceux que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, entraînent en priorité : ils tombent chaque année aux écrits et aux oraux, en MP comme en PC et PSI. Pour organiser ta préparation, appuie-toi sur notre guide de méthode pour réussir en prépa.

Ce qu'il faut retenir

Maxwell-Gauss : $\operatorname{div}\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ , les charges sont sources du champ électrique.
Maxwell-flux : $\operatorname{div}\vec{B} = 0$ , pas de monopôle magnétique, $\vec{B}$ à flux conservatif.
Maxwell-Faraday : $\operatorname{rot}\vec{E} = -\partial_t\vec{B}$ , un champ magnétique variable induit un champ électrique.
Maxwell-Ampère : $\operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\vec{E}$ , courants et champ électrique variable créent $\vec{B}$ .
Propagation dans le vide : équation de d'Alembert $\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\vec{E} = \vec{0}$ , avec $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ .
Onde plane : transverse, trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ direct, champs en phase, $\|\vec{E}\| = c\|\vec{B}\|$ .

Les équations de Maxwell sont le cœur de l'électromagnétisme de deuxième année : elles fondent l'induction, la propagation des ondes, l'optique physique et les guides d'onde. Elles se prolongent naturellement vers l'induction électromagnétique et vers l'étude des ondes et des régimes stationnaires.

Pour organiser ta deuxième année et affronter sereinement ce chapitre exigeant, consulte notre méthode pour réviser efficacement en prépa.

Électromagnétisme : les équations de Maxwell

Les champs et leurs sources

Maxwell-Gauss : le champ électrique et les charges

Maxwell-flux : pas de charge magnétique

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Maxwell-Faraday : l'induction

Maxwell-Ampère et le courant de déplacement

Les quatre équations en un coup d'œil

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L'onde électromagnétique dans le vide

Structure de l'onde plane progressive

5 erreurs classiques à éviter

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