Induction électromagnétique : lois de Lenz et Faraday

L'induction électromagnétique répond à une question simple en apparence : que se passe-t-il quand le flux magnétique à travers un circuit change ? La réponse tient en deux lois, celle de Faraday qui chiffre la tension induite et celle de Lenz qui en donne le sens. De ce couple découlent l'alternateur, le transformateur, le freinage électromagnétique et une bonne partie de l'électrotechnique. En Spé, c'est aussi l'un des chapitres où une erreur de signe ou de convention coûte le plus cher.

Le flux magnétique, point de départ

Tout part du flux du champ magnétique $\vec{B}$ à travers la surface $S$ délimitée par le circuit. On oriente d'abord le circuit (un sens de parcours), ce qui fixe par la règle de la main droite le vecteur surface $d\vec{S}$. Le flux vaut alors :

Le flux se mesure en webers (Wb $=$ T·m²). Pour un champ uniforme traversant une surface plane d'aire $S$ dont la normale fait un angle $\theta$ avec $\vec{B}$, il se réduit à $\Phi = B\,S\cos\theta$. Pour une bobine de $N$ spires identiques, le flux total est $N$ fois le flux à travers une spire : $\Phi = N\,B\,S\cos\theta$.

La loi de Faraday

La loi de Faraday est le cœur du chapitre. Elle affirme qu'un flux magnétique variable à travers un circuit y fait apparaître une force électromotrice induite $e$ (une tension, en volts), égale à l'opposé de la dérivée temporelle du flux :

Le circuit se comporte alors comme un générateur de force électromotrice $e$. Si sa résistance totale est $R$, le courant induit vaut $i = \dfrac{e}{R}$ (en convention générateur, avec $e$ et $i$ orientés dans le même sens que le circuit). Le signe moins n'est pas cosmétique : il encode la loi de Lenz, que nous précisons juste après.

La loi de Lenz : un principe de modération

La loi de Lenz donne le sens du courant induit sans aucun calcul. Elle s'énonce comme une loi de modération :

Concrètement : si le flux à travers le circuit augmente, le courant induit circule de manière à créer un champ magnétique opposé, pour freiner cette augmentation. S'il diminue, le courant induit crée un champ dans le même sens pour ralentir la diminution. Cette loi est cohérente avec la conservation de l'énergie : si le courant induit renforçait sa cause, on obtiendrait un emballement, donc de l'énergie gratuite, ce qui est impossible.

Le cas de Neumann : circuit fixe, champ variable

Il existe deux grandes façons de faire varier le flux, qu'on distingue soigneusement. Le cas de Neumann correspond à un circuit immobile et indéformable plongé dans un champ magnétique qui varie dans le temps. Toute la variation de flux vient alors de $\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ :

C'est le principe du transformateur et de tout dispositif où un enroulement fixe capte un champ oscillant. Le champ variable induit dans le circuit un champ électromoteur $\vec{E}_m$ qui met en mouvement les porteurs de charge, sans qu'aucune pièce ne bouge mécaniquement. Ce cas relève de la même physique que les équations de Maxwell, dont la loi de Faraday locale $\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ est la traduction ponctuelle.

Le cas de Lorentz : le rail de Laplace

Le cas de Lorentz est le symétrique du précédent : le champ magnétique est permanent, mais le circuit se déplace ou se déforme. La variation de flux vient cette fois du mouvement. Son archétype, incontournable en Spé, est le rail de Laplace.

Deux rails parallèles horizontaux, distants de $\ell$, sont reliés par une résistance $R$. Une barre conductrice glisse dessus sans frottement à la vitesse $\vec{v} = v\,\vec{u}_x$, dans un champ uniforme $\vec{B} = B\,\vec{u}_z$ perpendiculaire au plan des rails. En repérant la position de la barre par $x$, l'aire du circuit est $\ell x$ et le flux vaut :

La force électromotrice induite a donc pour valeur $B\ell v$. On peut la retrouver par la force de Lorentz : dans la barre en mouvement, chaque porteur de charge subit une force magnétique $q\,\vec{v}\wedge\vec{B}$, équivalente à un champ électromoteur $\vec{E}_m = \vec{v}\wedge\vec{B}$ de norme $vB$, qui, intégré sur la longueur $\ell$, redonne bien $e = B\ell v$.

Le courant induit qui en résulte, $i = \dfrac{e}{R}$, parcourt la barre dans le champ $\vec{B}$ : il subit donc une force de Laplace $\vec{F} = i\,\vec{\ell}\wedge\vec{B}$, de valeur :

Auto-induction et inductance L

Un circuit parcouru par un courant $i$ crée lui-même un champ magnétique, donc un flux propre à travers sa propre surface. Ce flux est proportionnel au courant, et le coefficient de proportionnalité est l'inductance $L$ du circuit, exprimée en henrys (H) :

Dès que le courant varie, ce flux propre varie, et le circuit s'induit à lui-même une force électromotrice, c'est l'auto-induction. En appliquant la loi de Faraday au flux propre :

Encore une fois, le signe traduit Lenz : l'auto-induction s'oppose à la variation du courant. C'est l'inertie électrique d'une bobine, qui interdit au courant de sauter brutalement (le courant dans une bobine est une grandeur continue). Une bobine emmagasine d'ailleurs une énergie magnétique :

Pour un solénoïde de $N$ spires, de longueur $\ell_s$ et de section $S$, l'inductance vaut $L = \mu_0\,\dfrac{N^2}{\ell_s}\,S$. Cette inductance est l'ingrédient central des circuits du premier et du second ordre, que l'on retrouve dans notre article sur l'électrocinétique et les circuits RLC.

Conversion de puissance : freinage, moteur, générateur

L'induction est avant tout un convertisseur d'énergie. Reprenons le rail de Laplace, entraîné à vitesse $v$ constante par un opérateur. La force de Laplace $F = \dfrac{B^2\ell^2 v}{R}$ freine la barre ; pour maintenir $v$, l'opérateur fournit une puissance mécanique :

Or le courant $i = \dfrac{B\ell v}{R}$ traverse la résistance $R$ et y dissipe, par effet Joule, la puissance :

Les deux sont égales : toute la puissance mécanique fournie est convertie en puissance électrique, ici dissipée en chaleur. La conversion électromécanique est parfaite (sans pertes propres), et l'on montre en toute généralité que la puissance de la force de Laplace est l'opposée de la puissance électrique de la force électromotrice induite : $P_{\text{Laplace}} = -\,e\,i$.

• Générateur. On entraîne la barre mécaniquement : l'énergie mécanique devient électrique. C'est le principe de l'alternateur et de la dynamo.
• Moteur. On impose un courant dans la barre via un générateur : la force de Laplace la met en mouvement. L'énergie électrique devient mécanique.
• Freinage par induction. Sans opérateur, la barre lancée est freinée par la force de Laplace : son énergie cinétique est intégralement dissipée en chaleur dans $R$. C'est le frein électromagnétique, sans contact ni usure, des poids lourds et des TGV.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de colle et de concours, les mêmes fautes reviennent chaque année sur l'induction. Les repérer, c'est déjà sécuriser des points.

1. Croire qu'un champ magnétique suffit à induire. Il faut une variation de flux. Un champ intense mais constant, avec un circuit immobile, ne produit aucune force électromotrice. La question à poser est toujours « pourquoi $\Phi$ varie-t-il ? ».
2. Oublier le signe moins de Faraday. $e = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, pas $+\dfrac{d\Phi}{dt}$. Ce signe est la loi de Lenz. Un courant induit qui renforcerait sa cause viole la conservation de l'énergie.
3. Confondre orientation du circuit et sens réel du courant. On choisit librement une orientation pour définir $\Phi$ et $e$ ; le signe du résultat donne ensuite le sens réel. Changer d'orientation en cours de route mélange tout.
4. Se tromper de cas (Neumann vs Lorentz). Circuit fixe et champ variable : la variation vient de $\partial \vec{B}/\partial t$. Circuit mobile et champ permanent : elle vient du mouvement. Appliquer $\partial \vec{B}/\partial t$ à un champ permanent donne, à tort, une force électromotrice nulle.
5. Faire accélérer la barre au lieu de la freiner. La force de Laplace sur un conducteur mobile s'oppose toujours à son mouvement (loi de Lenz). Si ton calcul l'accélère spontanément, une projection ou un signe est faux.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, sens du courant induit (loi de Lenz)

Énoncé. On approche le pôle nord d'un aimant droit de la face d'une bobine plate. Déterminer, en le justifiant, le sens du courant induit dans la bobine, et la nature de la force exercée sur l'aimant.

Solution. En approchant le pôle nord, on augmente le flux magnétique entrant dans la face de la bobine tournée vers l'aimant. Par la loi de Lenz, le courant induit s'oppose à cette augmentation : il circule de façon à créer un champ magnétique opposé, c'est-à-dire à présenter à l'aimant une face nord également.

Deux faces nord se font alors face : la bobine repousse l'aimant. C'est cohérent avec la modération, le système s'oppose au rapprochement qui est la cause de l'induction. Vu de l'aimant, le courant circule dans le sens qui, par la règle de la main droite, oriente le champ créé vers l'aimant.

Résultat : courant induit orienté pour créer une face nord côté aimant, d'où une force répulsive. Si l'on éloignait l'aimant, tout s'inverserait et la bobine l'attirerait.

Exercice 2, cas de Neumann (bobine dans un champ variable)

Énoncé. Une bobine plate fixe de $N = 500$ spires, de surface $S = 20\ \text{cm}^2$, est plongée dans un champ uniforme perpendiculaire à ses spires, $B(t) = B_0\cos(\omega t)$ avec $B_0 = 0{,}10$ T et $\omega = 100\pi\ \text{rad·s}^{-1}$. Déterminer la force électromotrice induite $e(t)$ et son amplitude.

Solution. Le circuit est fixe et le champ varie : c'est un cas de Neumann. Le flux à travers les $N$ spires, avec la normale alignée sur $\vec{B}$, vaut $\Phi(t) = N\,S\,B(t) = N\,S\,B_0\cos(\omega t)$. La loi de Faraday donne :

L'amplitude de la force électromotrice est donc $e_{\max} = N\,S\,B_0\,\omega$. Numériquement, avec $S = 20\times10^{-4}\ \text{m}^2$ :

Résultat : $e(t) = N S B_0\,\omega\sin(\omega t)$, d'amplitude $e_{\max} \approx 31$ V. On note que l'amplitude croît avec la fréquence, c'est tout le principe de l'alternateur.

Exercice 3, rail de Laplace (cas de Lorentz)

Énoncé. Une barre de masse $m = 50$ g glisse sans frottement sur deux rails horizontaux distants de $\ell = 20$ cm, reliés par une résistance $R = 2{,}0\ \Omega$, dans un champ vertical uniforme $B = 0{,}50$ T. On lance la barre à la vitesse $v_0 = 4{,}0\ \text{m·s}^{-1}$, puis on la laisse libre. Établir l'équation du mouvement, en déduire $v(t)$, la constante de temps, et l'énergie totale dissipée.

Solution. La barre en mouvement induit $e = B\ell v$, donc un courant $i = \dfrac{B\ell v}{R}$. Ce courant dans le champ subit une force de Laplace de valeur $F = B\ell i = \dfrac{B^2\ell^2 v}{R}$, opposée à la vitesse (Lenz). La barre n'a aucune autre force horizontale ; la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe du mouvement donne :

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre. En posant la constante de temps $\tau = \dfrac{mR}{B^2\ell^2}$, la solution avec $v(0) = v_0$ est une décroissance exponentielle :

Numériquement, $B^2\ell^2 = (0{,}50)^2\times(0{,}20)^2 = 0{,}0100\ \text{(T·m)}^2$, d'où :

La barre ralentit et finit par s'arrêter. Toute son énergie cinétique initiale est convertie, par effet Joule dans $R$, en chaleur. L'énergie totale dissipée vaut donc :

Résultat : $v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}$ avec $\tau = 10$ s, et $E_{\text{dissipée}} = 0{,}40$ J. C'est le principe du freinage par induction : pas de contact, une dissipation entièrement électrique.

Exercice 4, auto-induction et énergie

Énoncé. Une bobine d'inductance $L = 0{,}20$ H est parcourue par un courant que l'on fait varier linéairement de $0$ à $I = 3{,}0$ A en $\Delta t = 0{,}10$ s. Déterminer la force électromotrice d'auto-induction, puis l'énergie magnétique finale stockée dans la bobine.

Solution. Le courant varie à taux constant $\dfrac{di}{dt} = \dfrac{I}{\Delta t} = \dfrac{3{,}0}{0{,}10} = 30\ \text{A·s}^{-1}$. La force électromotrice d'auto-induction a pour valeur :

Le signe négatif indique qu'elle s'oppose à l'augmentation du courant (Lenz). Une fois le courant $I$ établi, l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine vaut :

Résultat : $|e_{\text{auto}}| = 6{,}0$ V pendant la phase de montée, et $E_{\text{mag}} = 0{,}90$ J stockée. Ces réflexes, poser le flux, dériver proprement, contrôler le signe par Lenz, sont exactement ceux que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, entraînent en priorité : l'induction tombe presque chaque année aux écrits comme aux oraux des concours.

Ce qu'il faut retenir

• Le flux : $\Phi = \iint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$ (en webers), l'induction naît de sa variation, jamais du champ seul.
• Loi de Faraday : $e = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, force électromotrice induite en volts, courant $i = e/R$.
• Loi de Lenz : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui donne naissance, c'est le signe moins de Faraday.
• Neumann : circuit fixe, champ variable ($\partial \vec{B}/\partial t$). Lorentz : circuit mobile, champ permanent ($\vec{v}\wedge\vec{B}$), rail de Laplace $e = B\ell v$.
• Auto-induction : $\Phi_{\text{propre}} = L\,i$, $e_{\text{auto}} = -L\dfrac{di}{dt}$, énergie $E = \tfrac12 L i^2$, le courant dans une bobine est continu.
• Conversion : freinage, moteur ou générateur, avec $P_{\text{méca}} = P_{\text{Joule}} = \dfrac{B^2\ell^2 v^2}{R}$ sur le rail de Laplace.

L'induction électromagnétique est un pilier de la physique de Spé, à l'interface de l'électromagnétisme et de l'électrocinétique. Pour la replacer dans l'ensemble du programme et bien articuler tes révisions, appuie-toi sur notre guide de méthode en prépa et sur nos conseils pour réviser efficacement.

Et si tu vises une deuxième année à dominante physique et sciences de l'ingénieur, notre fiche sur la filière PSI détaille les attendus et les débouchés, l'induction y est un chapitre central des écrits comme des oraux.