Énergie mécanique : cinétique, potentielle et exercices

L'énergie mécanique répond à une question simple : que devient l'énergie d'un objet qui bouge ? Une bille qui tombe, un skieur qui dévale une piste, un pendule qui oscille, tous convertissent en permanence de l'énergie de position en énergie de vitesse, et réciproquement. Comprendre ce bilan, c'est pouvoir prédire une vitesse ou une hauteur sans jamais résoudre une seule équation horaire.

L'énergie cinétique

L'énergie cinétique est l'énergie que possède un système du fait de son mouvement. Pour un objet de masse $m$ (en kilogrammes) animé d'une vitesse $v$ (en mètres par seconde), elle vaut :

et s'exprime en joules (J). Deux points méritent l'attention. D'abord, l'énergie cinétique dépend du carré de la vitesse : doubler la vitesse quadruple $E_c$, ce qui explique pourquoi les distances de freinage explosent quand on roule vite. Ensuite, elle est toujours positive ou nulle, car $v^2 \geq 0$.

L'énergie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle de pesanteur est l'énergie que possède un système du fait de sa position dans le champ de pesanteur. Pour un objet de masse $m$ situé à l'altitude $z$ :

où $g \approx 9{,}81$ m·s⁻² est l'intensité de la pesanteur. Elle s'exprime elle aussi en joules. Contrairement à l'énergie cinétique, l'énergie potentielle dépend d'un choix d'origine : il faut fixer un niveau de référence ($z = 0$) et orienter l'axe $Oz$ vers le haut. Selon la référence choisie, $E_{pp}$ peut être positive, nulle ou négative, mais c'est toujours sa variation qui a un sens physique.

L'énergie mécanique

L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est simplement la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :

Dans le cas du champ de pesanteur, $E_p = E_{pp} = mgz$, si bien que :

Cette grandeur unique regroupe les deux « réservoirs » d'énergie du système : celui du mouvement ($E_c$) et celui de la position ($E_p$). Tout l'intérêt du chapitre tient à une question : ce total se conserve-t-il ? La réponse dépend entièrement de la présence, ou non, de frottements.

Conservation sans frottements

Lorsque les frottements sont négligeables et que la seule force qui travaille est le poids, l'énergie mécanique se conserve : elle reste constante tout au long du mouvement.

Concrètement, l'énergie ne disparaît pas, elle change de forme. Quand l'objet descend, son altitude baisse, donc $E_p$ diminue, et cette énergie est intégralement reversée dans $E_c$ : l'objet accélère. Quand il monte, c'est l'inverse : $E_c$ se convertit en $E_p$ et l'objet ralentit. C'est exactement ce qui se passe pour un projectile en chute libre ou en mouvement de projectile, où seule la pesanteur agit.

Non-conservation et dissipation

Dès qu'il y a des frottements (air, contact avec une surface), l'énergie mécanique n'est plus conservée : elle diminue au cours du mouvement. La variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement :

Comme les frottements s'opposent toujours au mouvement, leur travail est résistant, donc négatif : $\Delta E_m < 0$. L'énergie mécanique perdue n'est pas détruite, elle est dissipée, essentiellement sous forme de chaleur (échauffement des surfaces et de l'air). C'est pourquoi les freins chauffent et une bille qui rebondit finit toujours par s'arrêter.

Travail d'une force et théorème de l'énergie cinétique

Le travail d'une force est la grandeur qui traduit son effet énergétique le long d'un déplacement. Pour une force constante $\vec{F}$ et un déplacement rectiligne $\vec{d}$, il s'écrit comme un produit scalaire :

où $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement. Le signe de $\cos(\alpha)$ fixe la nature du travail : moteur (positif) si la force accompagne le mouvement, résistant (négatif) si elle s'y oppose, et nul si la force est perpendiculaire au déplacement, comme la réaction normale d'un support.

Le théorème de l'énergie cinétique relie alors la variation de $E_c$ à la somme de tous ces travaux. Entre deux instants, pour un système soumis aux forces $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \dots$ :

C'est l'outil le plus rentable de la mécanique énergétique : il donne directement une vitesse finale ou une force moyenne sans passer par les équations horaires. Il complète les lois de Newton sur le mouvement, qui décrivent, elles, l'évolution instant par instant.

Lecture graphique des énergies

Au bac, on te demande souvent d'interpréter des courbes d'énergie en fonction du temps ou de la position. Trois réflexes suffisent à tout lire.

• La courbe $E_m$ est horizontale (constante) : l'énergie mécanique se conserve, donc les frottements sont négligeables.
• La courbe $E_m$ décroît : l'énergie mécanique diminue, il y a des frottements ; la baisse totale donne l'énergie dissipée.
• À chaque instant, $E_c$ et $E_p$ se lisent séparément, et leur somme doit redonner $E_m$ : $E_c + E_p = E_m$. C'est le contrôle gratuit de tout graphique d'énergie.

Sur un mouvement sans frottement, $E_c$ et $E_p$ sont deux courbes symétriques : là où l'une monte, l'autre descend exactement de la même quantité, et leur somme reste plate. Repérer les instants où $E_c$ est maximale (vitesse maximale, souvent au point le plus bas) ou minimale (point le plus haut) permet de décrire tout le mouvement d'un coup d'œil.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et du bac, les mêmes fautes reviennent chaque année autour de l'énergie mécanique. Les repérer, c'est déjà gagner des points.

1. Oublier le carré de la vitesse. L'énergie cinétique est $\tfrac{1}{2}mv^2$, pas $\tfrac{1}{2}mv$. Doubler la vitesse quadruple $E_c$, ce n'est pas une proportionnalité simple.
2. Changer de référence d'altitude en cours de calcul. L'énergie potentielle $mgz$ dépend de l'origine $z = 0$ choisie. Fixe-la une fois pour toutes et garde le même axe orienté vers le haut du début à la fin.
3. Affirmer que $E_m$ se conserve toujours. La conservation n'a lieu que sans frottements. Dès qu'il y a des frottements, $E_m$ diminue : c'est justement la variation $\Delta E_m$ qui mesure l'énergie dissipée.
4. Compter le travail de la réaction normale. Sur un support, la réaction normale est perpendiculaire au déplacement, donc $\cos(90°) = 0$ : son travail est nul. L'inclure dans le bilan est une faute fréquente.
5. Se tromper de signe pour le travail des frottements. Les frottements s'opposent au mouvement, leur travail est toujours résistant, donc négatif. Un travail de frottement positif est impossible.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, énergie cinétique et freinage

Énoncé. Une voiture de masse $m = 1200$ kg roule à $v = 20$ m·s⁻¹. Calculer son énergie cinétique. Elle freine ensuite jusqu'à l'arrêt sur une distance $d = 40$ m. En déduire la valeur de la force de freinage moyenne, supposée constante et opposée au mouvement.

Solution. L'énergie cinétique initiale vaut :

La voiture s'arrête, donc son énergie cinétique finale est nulle. Sur un trajet horizontal, le poids et la réaction normale ne travaillent pas ; seule la force de freinage $\vec{f}$ travaille. Le théorème de l'énergie cinétique donne :

le travail étant résistant. On isole $f$ :

Résultat : $E_c = 240$ kJ et la force de freinage moyenne vaut environ $6\,000$ N.

Exercice 2, conservation sans frottements

Énoncé. Une bille est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 5{,}0$ m. Les frottements de l'air sont négligés. Déterminer sa vitesse au moment où elle touche le sol.

Solution. On place la référence $z = 0$ au sol. À l'état initial (en haut, au repos) : $E_c^i = 0$ et $E_{pp}^i = mgh$, donc $E_m^i = mgh$. À l'état final (au sol) : $E_{pp}^f = 0$ et $E_c^f = \tfrac{1}{2}mv^2$, donc $E_m^f = \tfrac{1}{2}mv^2$. Comme les frottements sont négligeables, l'énergie mécanique se conserve :

La masse $m$ se simplifie, ce qui confirme que la vitesse ne dépend pas de la masse :

Résultat : la bille arrive au sol à environ $9{,}9$ m·s⁻¹, quelle que soit sa masse.

Exercice 3, énergie dissipée par les frottements

Énoncé. Un skieur de masse $m = 70$ kg part sans vitesse du haut d'une pente et descend d'une dénivelée $h = 10$ m. Il arrive en bas à la vitesse $v = 12$ m·s⁻¹. Calculer l'énergie dissipée par les frottements, puis comparer à la vitesse qu'il aurait atteinte sans frottement.

Solution. On prend la référence $z = 0$ en bas de la pente. Énergie mécanique en haut (au repos, altitude $h$) :

Énergie mécanique en bas (altitude nulle, vitesse $v$) :

L'énergie mécanique a diminué : la variation vaut $\Delta E_m = 5\,040 - 6\,867 = -1\,827$ J. L'énergie dissipée par les frottements, sous forme de chaleur, est donc :

Sans frottement, l'énergie mécanique se conserverait et le skieur arriverait à $v' = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 10} \approx 14{,}0$ m·s⁻¹, nettement plus vite que les $12$ m·s⁻¹ réels. L'écart traduit exactement l'énergie perdue par frottement.

Exercice 4, théorème de l'énergie cinétique avec frottements

Énoncé. Une luge de masse $m = 8{,}0$ kg, initialement au repos, est poussée sur un sol horizontal par une force constante $F = 40$ N dans le sens du mouvement, sur une distance $d = 12$ m. Une force de frottement $f = 15$ N s'oppose au déplacement. Déterminer la vitesse de la luge après ces $12$ m.

Solution. On fait l'inventaire des quatre forces et de leurs travaux sur le déplacement horizontal :

• La force motrice $\vec{F}$, dans le sens du mouvement : $W(\vec{F}) = F\,d = 40 \times 12 = 480$ J.
• Le frottement $\vec{f}$, résistant : $W(\vec{f}) = -f\,d = -15 \times 12 = -180$ J.
• Le poids et la réaction normale, perpendiculaires au déplacement : travail nul.

Le théorème de l'énergie cinétique, avec une vitesse initiale nulle, donne :

On isole $v$ :

Résultat : la luge atteint environ $8{,}7$ m·s⁻¹. La méthode, faire le bilan des travaux puis appliquer le théorème de l'énergie cinétique, est exactement le réflexe attendu au bac de physique-chimie et dans les premières semaines de prépa PC.

Ce qu'il faut retenir

• L'énergie cinétique : $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$, toujours positive, dépendant du carré de la vitesse.
• L'énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp} = mgz$, avec une référence $z = 0$ à fixer et un axe orienté vers le haut.
• L'énergie mécanique : $E_m = E_c + E_p$, le total des deux réservoirs d'énergie.
• La conservation : sans frottements, $E_m$ est constante ; un objet lâché d'une hauteur $h$ arrive à $v = \sqrt{2gh}$, indépendamment de sa masse.
• La dissipation : avec frottements, $\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0$, et $|\Delta E_m|$ est l'énergie convertie en chaleur.
• Le travail et le théorème : $W = F\,d\,\cos(\alpha)$ et $\Delta E_c = \sum_i W(\vec{F_i})$, l'outil clé pour une vitesse ou une force moyenne.

L'énergie mécanique est un pilier de la mécanique de terminale : elle s'articule avec la cinématique, les lois de Newton et le mouvement des projectiles, et revient chaque année au bac dans un exercice de bilan énergétique. Pour t'entraîner sur des sujets complets, consulte nos annales corrigées du bac de physique-chimie.

Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de physique-chimie de terminale spécialité, qui montre comment la mécanique énergétique s'articule avec l'électricité, les ondes et la chimie.