Mouvement d'un projectile : chute libre et exercices

Une balle lancée, un ballon frappé, un jet d'eau : tous décrivent la même courbe, une parabole. C'est l'un des résultats les plus élégants de la Terminale, et l'un des mieux payés au bac. La raison est étonnamment simple : dès qu'un objet ne subit que son poids, tout son mouvement se déduit d'une seule égalité vectorielle, $\vec{a} = \vec{g}$.

Position, vitesse, accélération

On étudie le mouvement dans un plan vertical muni d'un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, avec $\vec{i}$ horizontal et $\vec{j}$ vertical dirigé vers le haut. Le point $M$ représente le projectile, assimilé à un point matériel. Sa position est donnée par le vecteur :

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, et le vecteur accélération la dérivée du vecteur vitesse :

La chute libre et la deuxième loi de Newton

Un projectile est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ : on néglige les frottements de l'air et la poussée d'Archimède. La deuxième loi de Newton (le principe fondamental de la dynamique), appliquée dans un référentiel terrestre supposé galiléen, s'écrit :

La masse $m$ se simplifie : l'accélération d'un objet en chute libre ne dépend pas de sa masse. C'est le résultat de Galilée, une plume et une bille tombent identiquement dans le vide. Avec l'axe $\vec{j}$ orienté vers le haut, le champ de pesanteur s'écrit $\vec{g} = -g\,\vec{j}$ avec $g \approx 9{,}81 \ \text{m·s}^{-2}$. Les coordonnées de l'accélération sont donc :

Établir les équations horaires x(t) et y(t)

Fixons les conditions initiales. À l'instant $t = 0$, le projectile part de l'origine $O$ (donc $x(0) = 0$ et $y(0) = 0$) avec une vitesse initiale $\vec{v}_0$ de norme $v_0$, inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. Les coordonnées de la vitesse initiale sont :

Première intégration, la vitesse. On intègre l'accélération $a_x = 0$ et $a_y = -g$ par rapport au temps. Les constantes d'intégration sont les composantes de la vitesse à $t = 0$ :

Seconde intégration, la position. On intègre à nouveau, avec cette fois les positions initiales $x(0) = 0$ et $y(0) = 0$ comme constantes :

Ce sont les équations horaires du mouvement. Elles donnent la position à chaque instant. On y lit directement les deux régimes annoncés : $x(t)$ est linéaire en $t$ (mouvement uniforme), tandis que $y(t)$ est quadratique en $t$ (mouvement uniformément accéléré).

L'équation de la trajectoire : une parabole

Les équations horaires décrivent la position en fonction du temps. L'équation de la trajectoire décrit la courbe suivie, c'est-à-dire $y$ en fonction de $x$, sans le temps. On l'obtient en éliminant $t$. Comme $x = (v_0\cos\alpha)\,t$, on isole le temps (à condition que $\cos\alpha \neq 0$) :

On reporte cette expression dans $y(t)$. Le terme en $t^2$ devient un terme en $x^2$, le terme en $t$ un terme en $x$ :

C'est une fonction du second degré en $x$, avec un coefficient dominant négatif : la trajectoire est une parabole tournée vers le bas. Le projectile monte, atteint un sommet, puis redescend symétriquement.

Flèche et portée

Deux grandeurs caractérisent le tir. La flèche est la hauteur maximale atteinte ; la portée est la distance horizontale parcourue au moment où le projectile revient à son altitude de départ.

La flèche. Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale s'annule : $v_y(t) = 0$. On en tire l'instant du sommet $t_s$ :

En reportant $t_s$ dans $y(t)$, on obtient la flèche $H$ :

La portée. Le projectile revient à l'altitude de départ quand $y(t) = 0$ avec $t \neq 0$. En résolvant $-\tfrac12 g t^2 + (v_0\sin\alpha)t = 0$, on trouve la durée totale du vol $t_v = \dfrac{2\,v_0\sin\alpha}{g}$, soit exactement le double de $t_s$ (la parabole est symétrique). La portée $D$ est alors $x(t_v)$ :

en utilisant l'identité $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.

Tir horizontal et tir oblique

Les formules précédentes couvrent tous les cas ; on distingue deux situations selon l'angle de lancement.

Le tir oblique est le cas général, avec un angle $\alpha \neq 0$ : la vitesse initiale a une composante horizontale $v_0\cos\alpha$ et une composante verticale $v_0\sin\alpha$. Le tir horizontal est le cas particulier $\alpha = 0$ (souvent depuis une hauteur $h$) : toute la vitesse initiale est horizontale, $v_{0y} = 0$. Voici les deux jeux d'équations côte à côte.

Dans les deux colonnes, le même principe opère : mouvement uniforme à l'horizontale, uniformément accéléré à la verticale. Le tir horizontal n'est rien d'autre que le tir oblique avec $\alpha = 0$ (donc $\cos\alpha = 1$ et $\sin\alpha = 0$), décalé d'une hauteur de départ $h$.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et du bac, les mêmes fautes reviennent chaque année sur le mouvement d'un projectile. Les repérer, c'est déjà sécuriser des points.

1. Oublier le signe de $g$. Avec l'axe $\vec{j}$ vers le haut, l'accélération verticale est $a_y = -g$, pas $+g$. Le signe « moins » traduit que la pesanteur tire vers le bas. Si tu orientes $\vec{j}$ vers le bas, alors $a_y = +g$, mais il faut être cohérent d'un bout à l'autre.
2. Croire que la vitesse est nulle au sommet. Au point le plus haut, seule la composante verticale $v_y$ s'annule. La composante horizontale $v_x = v_0\cos\alpha$ reste constante et non nulle : le projectile continue d'avancer.
3. Confondre équation horaire et équation de trajectoire. $y(t)$ dépend du temps ; $y(x)$ décrit la courbe. Pour une question de portée ou d'obstacle à franchir, c'est la trajectoire $y(x)$ qu'il faut, obtenue en éliminant $t$.
4. Faire dépendre le mouvement de la masse. En chute libre, la masse se simplifie dans la deuxième loi de Newton : $\vec{a} = \vec{g}$. Deux projectiles de masses différentes lancés pareillement suivent la même trajectoire.
5. Oublier une condition initiale. Chaque intégration exige sa constante. Intégrer sans fixer $\vec{v}_0$, puis la position de départ, donne des équations fausses. Écris systématiquement les coordonnées de $\vec{v}_0$ avant de te lancer.

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, tir horizontal

Énoncé. Une bille est lancée horizontalement avec une vitesse $v_0 = 5{,}0 \ \text{m·s}^{-1}$ depuis le bord d'une table de hauteur $h = 1{,}0 \ \text{m}$. On prend $g = 9{,}81 \ \text{m·s}^{-2}$ et on néglige les frottements. Déterminer la durée de la chute, puis la distance horizontale parcourue avant de toucher le sol.

Solution. On choisit l'origine au point de départ, $\vec{j}$ vers le haut. Le tir est horizontal, donc $\alpha = 0$. Les équations horaires sont $x(t) = v_0\,t$ et $y(t) = -\tfrac12 g t^2$ (l'altitude est comptée depuis la table). La bille touche le sol quand elle est descendue de $h$, c'est-à-dire $y = -h$ :

On reporte cette durée dans $x(t)$ pour la distance horizontale :

Résultat : la bille tombe pendant environ $0{,}45 \ \text{s}$ et atterrit à environ $2{,}3 \ \text{m}$ du pied de la table. On note que la durée de chute ne dépend pas de $v_0$ : elle serait identique pour une bille simplement lâchée sans vitesse.

Exercice 2, tir oblique, flèche et portée

Énoncé. Un ballon est frappé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 20 \ \text{m·s}^{-1}$ inclinée d'un angle $\alpha = 30^\circ$ au-dessus de l'horizontale. On prend $g = 9{,}81 \ \text{m·s}^{-2}$. Calculer la flèche (hauteur maximale) et la portée du tir.

Solution. On relève les composantes de la vitesse initiale : $v_0\cos 30^\circ = 20 \times 0{,}866 \approx 17{,}3 \ \text{m·s}^{-1}$ et $v_0\sin 30^\circ = 20 \times 0{,}5 = 10 \ \text{m·s}^{-1}$. La flèche s'obtient par la formule établie plus haut :

Pour la portée, on utilise $\sin(2\alpha) = \sin 60^\circ \approx 0{,}866$ :

Résultat : le ballon monte à environ $5{,}1 \ \text{m}$ et retombe à environ $35 \ \text{m}$. Un tir à $60^\circ$ avec la même vitesse aurait exactement la même portée (angles complémentaires), mais une flèche bien plus grande.

Exercice 3, trajectoire et obstacle à franchir

Énoncé. Depuis le sol, on lance un projectile avec $v_0 = 15 \ \text{m·s}^{-1}$ à un angle $\alpha = 45^\circ$. Un mur de hauteur $2{,}0 \ \text{m}$ est placé à une distance horizontale de $20 \ \text{m}$ du point de lancement. On prend $g = 9{,}81 \ \text{m·s}^{-2}$. Établir l'équation de la trajectoire, puis déterminer si le projectile passe au-dessus du mur.

Solution. Avec $\alpha = 45^\circ$, on a $\cos^{2}\alpha = 0{,}5$ et $\tan\alpha = 1$. Le coefficient du terme en $x^2$ vaut :

L'équation de la trajectoire est donc :

On calcule l'altitude du projectile à l'abscisse du mur, $x = 20 \ \text{m}$ :

Résultat : à l'aplomb du mur, le projectile est à environ $2{,}6 \ \text{m}$ de hauteur, soit au-dessus des $2{,}0 \ \text{m}$ du mur. Il passe donc, avec une marge d'environ $0{,}6 \ \text{m}$.

Ce type de raisonnement, établir la trajectoire puis tester une altitude à une abscisse donnée, est exactement celui qu'attend le jury dans les exercices de mécanique. Nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, l'entraînent en priorité : il revient sans cesse au bac et se prolonge naturellement vers l'étude énergétique du mouvement. Pour t'entraîner sur des sujets réels, parcours nos annales du bac de physique-chimie.

Ce qu'il faut retenir

• La chute libre : un projectile soumis à son seul poids vérifie $\vec{a} = \vec{g}$, indépendamment de sa masse (deuxième loi de Newton).
• Les deux régimes : mouvement uniforme à l'horizontale ($a_x = 0$), uniformément accéléré à la verticale ($a_y = -g$).
• Les équations horaires : $x(t) = (v_0\cos\alpha)\,t$ et $y(t) = -\tfrac12 g t^{2} + (v_0\sin\alpha)\,t$, obtenues par deux intégrations avec les conditions initiales.
• La trajectoire : en éliminant $t$, on trouve une parabole $y = -\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}x^{2} + \tan(\alpha)\,x$.
• La flèche $H = \dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$ (où $v_y = 0$) et la portée $D = \dfrac{v_0^{2}\sin(2\alpha)}{g}$, maximale pour $\alpha = 45^\circ$.
• Les deux tirs : le tir horizontal est le cas $\alpha = 0$ du tir oblique, souvent depuis une hauteur $h$.

Le mouvement d'un projectile est la porte d'entrée de toute la mécanique du point : il prépare l'étude énergétique, où l'on retrouve les mêmes situations sous l'angle du travail et de la conservation de l'énergie mécanique, cinétique et potentielle. Pour situer ce chapitre dans l'année, consulte notre panorama du programme de maths et physique de Terminale spécialité.

Ce chapitre est aussi un grand classique de l'oral : si tu prépares ton épreuve finale, notre méthode pour structurer un grand oral de physique-chimie te montre comment transformer un sujet de mécanique comme celui-ci en exposé convaincant.