Grandeurs et unités : conversions et méthode

En physique-chimie, un nombre seul ne veut rien dire. Écrire « la vitesse vaut 20 » n'a aucun sens : est-ce 20 km/h, 20 m/s ou 20 nœuds ? Toute grandeur physique s'accompagne d'une unité, et c'est elle qui donne son sens à la mesure. La conversion des unités est le premier réflexe à automatiser, car une erreur d'unité fait rater un exercice entier, même quand le raisonnement est juste.

Grandeur physique et unité

Une grandeur physique est une propriété mesurable d'un objet ou d'un phénomène : une longueur, une masse, une durée, une température, une intensité électrique. Mesurer une grandeur, c'est la comparer à un étalon choisi comme référence : ce que l'on appelle l'unité. Le résultat d'une mesure s'écrit alors toujours sous la forme :

Par exemple, $\ell = 3{,}5 \ \text{m}$ signifie que la longueur $\ell$ vaut $3{,}5$ fois l'étalon « mètre ». La valeur numérique et l'unité forment un tout indissociable : changer d'unité change la valeur numérique, mais pas la grandeur elle-même. Une même longueur s'écrit $3{,}5 \ \text{m}$ ou $350 \ \text{cm}$, c'est le même objet physique.

Le Système international et ses 7 unités de base

Pour que tout le monde parle le même langage, la communauté scientifique s'appuie sur le Système international d'unités, abrégé SI. Il repose sur 7 unités de base, une par grandeur fondamentale. Toutes les autres unités s'en déduisent.

Les unités dérivées

Toutes les grandeurs qui ne figurent pas dans le tableau précédent s'expriment à partir des 7 unités de base : ce sont les unités dérivées. Elles se construisent par produits et quotients des unités fondamentales, en suivant la définition physique de la grandeur.

Ces relations ne sont pas à apprendre par cœur : elles se retrouvent à partir des définitions. La force vient de $F = m\,a$, donc $\text{N} = \text{kg} \times \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$. L'énergie cinétique $E_c = \tfrac{1}{2} m v^2$ donne $\text{J} = \text{kg} \times (\text{m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = \text{kg} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{s}^{-2}$. Pour t'entraîner sur les forces et le mouvement, revois notre cours sur les lois de Newton, où ces unités reviennent en permanence.

Les préfixes et les puissances de 10

Un atome mesure environ $10^{-10} \ \text{m}$, une centrale produit des centaines de $10^{6} \ \text{W}$. Pour éviter d'écrire des nombres à rallonge, on colle un préfixe devant l'unité. Chaque préfixe est un raccourci pour une puissance de 10.

La méthode de conversion

Convertir, c'est réécrire une même grandeur avec une autre unité. La méthode la plus sûre, celle qui ne trompe jamais, tient en trois étapes.

1. Remplace chaque préfixe par sa puissance de 10. Par exemple $5 \ \text{km} = 5 \times 10^{3} \ \text{m}$, ou $3 \ \text{mA} = 3 \times 10^{-3} \ \text{A}$.
2. Ramène tout à l'unité de base du SI. C'est le pivot commun qui évite les erreurs de sens : on passe toujours par le mètre, le kilogramme, la seconde.
3. Réexprime dans l'unité voulue en appliquant la puissance de 10 inverse. On ne déplace la virgule que d'un cran par facteur 10.

Le cas particulier le plus fréquent est la conversion des vitesses entre km/h et m/s. Une seule relation à retenir :

Donc on divise par $3{,}6$ pour passer des km/h aux m/s, et on multiplie par $3{,}6$ dans l'autre sens. Par exemple, $90 \ \text{km/h} = 90 / 3{,}6 = 25 \ \text{m/s}$.

La notation scientifique

Pour manipuler des nombres très grands ou très petits sans se noyer dans les zéros, on utilise la notation scientifique. Un nombre y est écrit sous la forme :

Le nombre $a$, appelé mantisse, a un seul chiffre non nul avant la virgule, et $n$ est un entier relatif (l'ordre de grandeur). Quelques exemples parlants :

• $149\,600\,000\,000 \ \text{m}$ (distance Terre-Soleil) $= 1{,}496 \times 10^{11} \ \text{m}$.
• $0{,}000\,000\,000\,53 \ \text{m}$ (rayon d'un atome) $\approx 5{,}3 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
• $0{,}000\,32 = 3{,}2 \times 10^{-4}$.

Pour multiplier ou diviser en notation scientifique, on traite séparément les mantisses et les puissances de 10 (avec $10^{p} \times 10^{q} = 10^{p+q}$) :

Les chiffres significatifs

Les chiffres significatifs d'une valeur sont tous ses chiffres connus avec certitude, en partant du premier chiffre non nul. Ils traduisent la précision d'une mesure : $2{,}5 \ \text{m}$ (2 chiffres significatifs) n'a pas la même précision que $2{,}500 \ \text{m}$ (4 chiffres significatifs).

• $3{,}14$ a 3 chiffres significatifs.
• $0{,}0056$ en a 2 : les zéros de gauche ne comptent pas (ils fixent seulement l'ordre de grandeur).
• $2{,}500$ en a 4 : les zéros de droite, eux, comptent, car ils indiquent la précision.

Homogénéité et analyse dimensionnelle

Une formule est homogène quand ses deux membres ont la même dimension, c'est-à-dire les mêmes unités une fois tout ramené aux unités de base. L'analyse dimensionnelle consiste à remplacer chaque grandeur par son unité SI et à simplifier. C'est un outil de contrôle redoutable : une formule non homogène est forcément fausse.

Prenons la relation $v = \dfrac{d}{t}$. À droite, une longueur divisée par un temps donne $\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$, ce qui est bien l'unité d'une vitesse. La formule est homogène. On ne prouve pas qu'elle est juste, mais on écarte à coup sûr toutes les versions fausses, par exemple $v = d \times t$ (qui donnerait des $\text{m} \cdot \text{s}$, pas une vitesse).

Cet outil devient central en Terminale puis en prépa, où beaucoup de démonstrations commencent par une vérification dimensionnelle. Pour voir où ce chapitre te mène, parcours notre panorama du programme de physique de Terminale spécialité.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et au bac, les mêmes fautes d'unités reviennent chaque année. Les repérer, c'est déjà sécuriser des points faciles.

1. Oublier l'unité dans le résultat. Un nombre nu n'est pas une réponse en physique. L'unité fait partie de la valeur et vaut des points.
2. Diviser par $3{,}6$ dans le mauvais sens. Des km/h vers les m/s, on divise par $3{,}6$ ; dans l'autre sens, on multiplie. En cas de doute, vérifie l'ordre de grandeur : $100 \ \text{km/h}$ font environ $28 \ \text{m/s}$, pas $360$.
3. Mal convertir les surfaces et volumes. $1 \ \text{cm}^2 = 10^{-4} \ \text{m}^2$ et non $10^{-2}$. La puissance de 10 passe, elle aussi, au carré ou au cube.
4. Raisonner en gramme au lieu du kilogramme. L'unité SI de masse est le kilogramme. Dans une formule d'énergie ou de force, une masse en grammes fausse tout le calcul.
5. Garder trop de chiffres après une division. Un résultat n'est jamais plus précis que les données. Ne recopie pas les dix décimales de la calculatrice : arrondis au bon nombre de chiffres significatifs.

3 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, conversions et préfixes

Énoncé. Convertir dans l'unité demandée :

• a) $90 \ \text{km/h}$ en $\text{m/s}$ ;
• b) $4\,700 \ \text{nm}$ en $\text{m}$ ;
• c) $0{,}25 \ \text{GW}$ en $\text{W}$.

Solution. a) On divise par $3{,}6$ : $90 / 3{,}6 = 25$, donc $90 \ \text{km/h} = 25 \ \text{m/s}$.

b) Le préfixe nano vaut $10^{-9}$ : $4\,700 \ \text{nm} = 4\,700 \times 10^{-9} \ \text{m} = 4{,}7 \times 10^{-6} \ \text{m}$.

c) Le préfixe giga vaut $10^{9}$ : $0{,}25 \ \text{GW} = 0{,}25 \times 10^{9} \ \text{W} = 2{,}5 \times 10^{8} \ \text{W}$.

Exercice 2, notation scientifique et chiffres significatifs

Énoncé. Une voiture parcourt $d = 3{,}0 \times 10^{2} \ \text{m}$ en $t = 1{,}2 \times 10^{1} \ \text{s}$. Calculer sa vitesse moyenne $v = d/t$, en notation scientifique et avec le bon nombre de chiffres significatifs.

Solution. On sépare les mantisses et les puissances de 10 :

Les deux données ont $2$ chiffres significatifs, le résultat en garde donc $2$ : $v = 2{,}5 \times 10^{1} \ \text{m/s}$, soit $25 \ \text{m/s}$. On vérifie l'homogénéité au passage : $\text{m} / \text{s} = \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$, bien une vitesse.

Exercice 3, contrôle d'homogénéité

Énoncé. Pour la période $T$ (en secondes) d'un pendule de longueur $L$, un élève hésite entre deux formules : $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ et $T = 2\pi\sqrt{L \cdot g}$, où $g$ est l'accélération de pesanteur, en $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$. Laquelle est possible ?

Solution. On fait l'analyse dimensionnelle de chaque expression sous la racine. Le facteur $2\pi$ est un nombre sans unité, on l'ignore. Pour la première :

On obtient bien une durée : la formule $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ est homogène. Pour la seconde :

Cela donne une vitesse, pas une durée : la formule $T = 2\pi\sqrt{L \cdot g}$ n'est pas homogène, elle est donc fausse. Sans rien connaître par cœur, l'analyse dimensionnelle a tranché.

Ce réflexe de vérifier les unités avant de foncer est exactement celui que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, entraînent en priorité. Il te fera gagner des points dès le lycée. Pour t'exercer sur des sujets complets, explore nos annales corrigées de bac de physique-chimie.

Ce qu'il faut retenir

• Grandeur et unité : une mesure s'écrit valeur numérique $\times$ unité. Un nombre sans unité n'est pas une réponse.
• Les 7 unités de base du SI : mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s), ampère (A), kelvin (K), mole (mol), candela (cd).
• Les unités dérivées se construisent à partir des 7 de base : $\text{N} = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$, $\text{J} = \text{kg} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{s}^{-2}$, $\text{Pa} = \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.
• Les préfixes sont des puissances de 10 : nano $10^{-9}$, micro $10^{-6}$, milli $10^{-3}$, centi $10^{-2}$, kilo $10^{3}$, méga $10^{6}$, giga $10^{9}$.
• La conversion : passe par l'unité de base du SI ; des km/h aux m/s, divise par $3{,}6$ ; pense au carré et au cube pour les surfaces et volumes.
• Notation scientifique et chiffres significatifs : $a \times 10^{n}$ avec $1 \leq a < 10$ ; garde autant de chiffres que la donnée la moins précise.
• L'homogénéité : une formule non homogène est fausse. L'analyse dimensionnelle est ton contrôle gratuit.

Maîtriser les grandeurs et les unités est le socle de toute la physique-chimie du lycée, du calcul de vitesse à la chimie des quantités de matière. Ces automatismes se mettent en place dès la Seconde et se prolongent jusqu'en prépa. Prends le temps de les ancrer maintenant, tu gagnes du temps et des points sur tout le reste du programme.