Top piège du sujet
Discussion sur la parité de n oubliée (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
« Autour de l'inégalité de Hoffman-Wielandt ». Le problème commençait par deux questions classiques d'algèbre linéaire (diagonaliser une matrice circulante J ∈ M_n(C)). Étude de l'ensemble B_n des matrices bistochastiques (convexité, compacité, théorème de Birkhoff sur les points extrémaux = matrices de permutation), puis démonstration de l'inégalité de Hoffman-Wielandt qui contrôle la perturbation des valeurs propres d'une matrice symétrique.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A, matrice circulante J et probabilités totales(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 diagonalisation J classique, mais cas racines réelles avec parité de n souvent oublié. Q2-Q3 manque de rigueur, formule des probabilités totales oubliée. Relation J^T = J^{n−1} non vue par la plupart, bloque toute la fin. Réponses pour A « au hasard » sanctionnées.
- Partie II — Partie B, bistochastiques, compacité, sous-groupe P_n(Q6-Q11)Difficile
Q6 convexité de B_n facile, compacité demande précision (normes équivalentes, choix de norme, caractérisation des fermés). Q7 sous-groupe via M_σ M_τ = M_{στ}. Diagonalisabilité de P_n (ouverte) tient en échec une forte proportion. Q8 inhabituelle, met en évidence l'imagination des meilleurs.
- Partie III — Récurrence sur le nombre de termes non nuls (Q12-Q15)(Q12-Q15)Difficile
Q12 pas justifier λ_0 ≠ 1 + erreur consistant à montrer apparition d'un élément non nul sans justifier qu'aucun ne disparaisse. Q13 récurrence inhabituelle sur le nombre de termes non nuls de A. Q14 il suffisait de remarquer que P_n est fini, beaucoup de complications topologiques inutiles.
- Partie IV — Partie C, Hoffman-Wielandt et théorème spectral(Q16-Q19)Très difficile
Q16 grappilleurs heureux. Théorème spectral souvent invoqué sans donner P. Q17 matrices orthogonales OK pour les bons, calcul de D_A·P − P·D_A demandait précision sur coefficients. Q18 OK pour ceux arrivés là. Q19 délicate, pratiquement aucun candidat ne l'a abordée.
Analyse globale du jury
« Le sujet a permis de bien classer les candidats grâce à des questions classiques de diagonalisation en début, suivies de questions ouvertes (diagonalisabilité de P_n, Q8), d'une récurrence inhabituelle sur le nombre de termes non nuls (Q13) et de la dernière partie sur Hoffman-Wielandt très peu abordée. Le jury rappelle que la situation sur la présentation est stable (majorité de copies bien présentées et torchons inévitables) et déconseille les arguments topologiques prématurés sur des situations simples comme la finitude de P_n. »
Top pièges sanctionnés
Discussion sur la parité de n oubliée (Q1)-1 pts
« À la première question, l'étude du cas des racines réelles, avec une discussion sur la parité de n, était en général oublié. »
Formule des probabilités totales oubliée + réponses au hasard-2 pts
« Nous avons souvent observé un certain manque de rigueur, la formule des probabilités totales était souvent oubliée. Nous avons aussi rencontré un certain nombre de réponses pour la matrice A données au hasard, mais un problème de mathématiques ne se réduit pas à des devinettes… »
Compacité de B_n traitée sans précision (Q6)-2 pts
« La compacité demande plus de précision : préciser tout d'abord que toutes les normes sont équivalentes puisqu'on est dans un espace vectoriel de dimension finie, puis indiquer clairement quelle norme on choisit, et enfin quelle caractérisation des fermés on va utiliser. »
Topologie inutile pour la finitude de P_n (Q14)-1 pts
« Nous avons lu beaucoup de complications à la question suivante, puisqu'il suffisait de faire remarquer que l'ensemble P_n est fini... Nous conseillons aux futurs candidats de ne pas se précipiter sans réfléchir sur des arguments topologiques dans une situation aussi simple. »
Théorème spectral invoqué sans donner P (Q16)-1 pts
« On trouvait très souvent une invocation du théorème spectral, mais on attendait une réponse précise avec la matrice P qui n'était pas toujours donnée. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2016 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths I 2016
L'épreuve Maths I Mines-Ponts MP 2016 s'est déroulée fin avril 2016, durée 3h, coefficient 4. Sujet commun aux concours Mines-Ponts, Mines-Télécom, Centrale-Supélec (Cycle international) et TPE/EIVP.
Sujet d'algèbre intitulé « Autour de l'inégalité de Hoffman-Wielandt ». Trois objets centraux : la notion de matrice extrémale dans un sous-ensemble convexe, l'ensemble B_n des matrices bistochastiques (coefficients ≥ 0, somme des lignes et colonnes égale à 1), et l'ensemble P_n des matrices de permutation. La partie A illustre via la matrice circulante J ∈ M_n(C). L'objectif final est l'inégalité de Hoffman-Wielandt qui contrôle la perturbation des valeurs propres d'une matrice symétrique.
Le rapport ne publie pas de statistiques mais indique un classement réussi via une difficulté progressive : début classique (diagonalisation), questions ouvertes au milieu (Q8 inhabituelle, diagonalisabilité de P_n), récurrence inhabituelle sur le nombre de termes non nuls (Q13), et partie C (Hoffman-Wielandt) « pratiquement aucun candidat ne l'a abordée de manière significative ».
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet à structure progressive. Le levier est la rigueur sur les questions ouvertes (Q7 diagonalisabilité, Q8 inhabituelle) et la topologie de B_n (Q6 compacité). Le jury : « une question surprenante n'est pas forcément difficile ».
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise Q1 (diagonalisation J + parité de n explicite), Q2 (formule des probabilités totales rédigée), Q6 (convexité de Bn triviale + compacité avec norme choisie explicitement), Q7 (sous-groupe via Mσ Mτ = Mστ). Pour la matrice A : pas de devinettes, viser la relation JT = Jn−1 qui débloque la suite.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q8 inhabituelle = différenciante (capacités d'adaptation). Q9 (r ≥ 2) demande beaucoup de soin. Q12 justifier λ_0 ≠ 1 et apparition/disparition d'éléments non nuls. Q13 récurrence sur le nombre de termes non nuls de A, inhabituelle. Q14 : ne pas surcharger, P_n est fini. Q17-Q18 (matrices orthogonales, D_A·P − P·D_A) accessibles si arrivé là.
Gestion des 3h : ~45 min sur Q1-Q5 (partie A, débloquer JT = Jn−1), 1h sur Q6-Q11 (partie B, topologie + question ouverte Q7-Q8), 45 min Q12-Q15 (récurrence inhabituelle), 30 min Q16-Q18 (Hoffman-Wielandt, viser ce qu'on maîtrise). Le jury sanctionne explicitement les « réponses données au hasard » et les « arguments topologiques prématurés ».
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Pas de devinettes : un problème de maths ne se réduit pas à proposer une matrice « au hasard ». Justifier chaque assertion.
- Compacité = norme explicite : préciser que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, choisir la norme, énoncer la caractérisation des fermés utilisée.
- Question ouverte = répondre, même brièvement : les seuls candidats qui n'ont eu aucun point sur Q6 (sous-espace vectoriel) sont ceux qui ont oublié d'y répondre.
- Une question surprenante n'est pas forcément difficile (Q8), capacité d'adaptation valorisée.
- Pas de topologie quand le simple suffit (Q14 : P_n est fini, point). Réfléchir avant de dégainer Bolzano-Weierstrass.
- Théorème spectral = donner P : invoquer ne suffit pas, il faut produire la matrice de passage.
- Stylo bille noir + brouillons : encres pâles illisibles, effaceurs s'effacent au fil du temps. La lisibilité est une compétence évaluée.
Ressources
Téléchargements
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