Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
« Autour de l'inégalité de Hoffman-Wielandt ». Le problème commençait par deux questions classiques d'algèbre linéaire (diagonaliser une matrice circulante J ∈ M_n(C)). Étude de l'ensemble B_n des matrices bistochastiques (convexité, compacité, théorème de Birkhoff sur les points extrémaux = matrices de permutation), puis démonstration de l'inégalité de Hoffman-Wielandt qui contrôle la perturbation des valeurs propres d'une matrice symétrique.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A — matrice circulante J et probabilités totales(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 diagonalisation J classique, mais cas racines réelles avec parité de n souvent oublié. Q2-Q3 manque de rigueur, formule des probabilités totales oubliée. Relation J^T = J^{n−1} non vue par la plupart — bloque toute la fin. Réponses pour A « au hasard » sanctionnées.
- Partie II — Partie B — bistochastiques, compacité, sous-groupe P_n(Q6-Q11)Difficile
Q6 convexité de B_n facile, compacité demande précision (normes équivalentes, choix de norme, caractérisation des fermés). Q7 sous-groupe via M_σ M_τ = M_{στ}. Diagonalisabilité de P_n (ouverte) tient en échec une forte proportion. Q8 inhabituelle, met en évidence l'imagination des meilleurs.
- Partie III — Récurrence sur le nombre de termes non nuls (Q12-Q15)(Q12-Q15)Difficile
Q12 pas justifier λ_0 ≠ 1 + erreur consistant à montrer apparition d'un élément non nul sans justifier qu'aucun ne disparaisse. Q13 récurrence inhabituelle sur le nombre de termes non nuls de A. Q14 il suffisait de remarquer que P_n est fini — beaucoup de complications topologiques inutiles.
- Partie IV — Partie C — Hoffman-Wielandt et théorème spectral(Q16-Q19)Très difficile
Q16 grappilleurs heureux. Théorème spectral souvent invoqué sans donner P. Q17 matrices orthogonales OK pour les bons, calcul de D_A·P − P·D_A demandait précision sur coefficients. Q18 OK pour ceux arrivés là. Q19 délicate, pratiquement aucun candidat ne l'a abordée.
Analyse globale du jury
« Le sujet a permis de bien classer les candidats grâce à des questions classiques de diagonalisation en début, suivies de questions ouvertes (diagonalisabilité de P_n, Q8), d'une récurrence inhabituelle sur le nombre de termes non nuls (Q13) et de la dernière partie sur Hoffman-Wielandt très peu abordée. Le jury rappelle que la situation sur la présentation est stable (majorité de copies bien présentées et torchons inévitables) et déconseille les arguments topologiques prématurés sur des situations simples comme la finitude de P_n. »
Top pièges sanctionnés
Discussion sur la parité de n oubliée (Q1)-1 pts
« À la première question, l'étude du cas des racines réelles, avec une discussion sur la parité de n, était en général oublié. »
Formule des probabilités totales oubliée + réponses au hasard-2 pts
« Nous avons souvent observé un certain manque de rigueur, la formule des probabilités totales était souvent oubliée. Nous avons aussi rencontré un certain nombre de réponses pour la matrice A données au hasard, mais un problème de mathématiques ne se réduit pas à des devinettes… »
Compacité de B_n traitée sans précision (Q6)-2 pts
« La compacité demande plus de précision : préciser tout d'abord que toutes les normes sont équivalentes puisqu'on est dans un espace vectoriel de dimension finie, puis indiquer clairement quelle norme on choisit, et enfin quelle caractérisation des fermés on va utiliser. »
Topologie inutile pour la finitude de P_n (Q14)-1 pts
« Nous avons lu beaucoup de complications à la question suivante, puisqu'il suffisait de faire remarquer que l'ensemble P_n est fini... Nous conseillons aux futurs candidats de ne pas se précipiter sans réfléchir sur des arguments topologiques dans une situation aussi simple. »
Théorème spectral invoqué sans donner P (Q16)-1 pts
« On trouvait très souvent une invocation du théorème spectral, mais on attendait une réponse précise avec la matrice P qui n'était pas toujours donnée. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2016 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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