Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet consiste en la démonstration par Karamata d'un résultat obtenu auparavant par Hardy et Littlewood sur le comportement asymptotique de la somme partielle d'une série entière en fonction d'un équivalent simple de celle-ci au bord de son disque de convergence. Il fait intervenir intégrales dépendant d'un paramètre, séries de fonctions, familles sommables, raisonnement sur les entiers sommes de deux carrés, et un peu d'algèbre linéaire.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q6 — Une intégrale à paramètre(Q1-Q6)Difficile
Étude de F(x) = ∫₀^∞ e^(-u)/[√u(u+x)] du et K = ∫₀^∞ e^(-u)/√u du. Q2 : domaine précis (F(0) et F(x < 0) n'existent pas). Q3 : dérivation sous ∫ avec domination correcte. Q4 : IPP primitivant 1/√u. Q5 : équation différentielle. Q6 : limites de G en 0 et +∞ (valeurs numériques, pas existence).
- Partie II — Q7-Q11 — Séries de fonctions f et g(Q7-Q11)Difficile
Q7 : continuité de f(x) = Σ e^(-nx)/√n et g(x) = Σ √n e^(-nx) (convergence normale sur intervalles). Q8 : comparaison série-intégrale, équivalent K/√x via t = ux. Q9 : convergence de Σ 1/√k − 2√n (erreur : « différence → 0 ⇒ équivalence »). Q11 : équivalent de h(x) et g(x) en 0.
- Partie III — Q12-Q15 — Entiers sommes de carrés(Q12-Q15)Très difficile
Q12 : étude de I_A pour A ∈ S, suite (b_n). Q13 : convergence de Σ Card(A(n)) e^(-nx) via Card(A(n)) ≤ n+1 (pas n). Q14 : nombre d'entiers carré ≤ n, encadrement. Q15 : v(n) couples (p,q) avec n = p²+q², produit de Cauchy v(n) = Σ a_{1,k} a_{1,n-k}, comparaison a_{2,n} et v(n).
- Partie IV — Q16-Q21 — Théorème taubérien (synthèse)(Q16-Q21)Très difficile
Q16 : existence de L(ψ), linéarité, croissance. Q17 : E1 sous-espace, Δ linéaire. Q18 : e_p ∈ E1 via Weierstrass et double limite. Q19 : Δ(g_+), Δ(g_-), Δ(1_[0,a]) — la croissance de L encadre Δ(1_[0,a]) par Δ(g_+) et Δ(g_-). Q20-Q21 : peu traitées, requièrent Q15.
Analyse globale du jury
« Bilan sévère : « le bilan de la correction de ce sujet est plutôt décevant : une faible proportion de candidats ont obtenu plus de la moitié des points sur le total brut, et pour beaucoup le sujet s'est limité aux questions 1, 2, 3, 7, 8, 12, 16, 17 ». Le jury déplore : « un grand nombre de copies nous ont paru ne pas répondre au minimum requis pour cette épreuve : orthographe et syntaxe déficientes, abus des abréviations, écriture difficilement lisible, questions non numérotées, sans parler des questions dont la rédaction est abandonnée en cours de route et des nombreuses ratures ». Trois qualités attendues : connaissance du cours, méthodes courantes de raisonnement et calcul, capacité à saisir le fil conducteur du problème. »
Top pièges sanctionnés
Domaine de définition de F bâclé (Q2)-2 pts
« Le sujet demandait de définir précisément les valeurs de x pour lesquelles F(x) est définie, ce qui n'a été fait correctement que par une minorité de candidats. Il ne suffisait donc pas de prouver que F(x) existe pour tout x > 0, mais il fallait également prouver que F(0) n'existe pas (la fonction intégrée n'étant alors pas intégrable près de 0) ni non plus F(x) pour x < 0. »
Fonction de domination invalide en Q3-2 pts
« Souvent, celles proposées par les candidats soit étaient non intégrables sur ]0, +∞[, soit dépendaient de x, soit ne dominaient pas la fonction intégrée pour tout x > 0. Il fallait en tout cas limiter les valeurs de x (et non de u !) à un segment, ou du moins à un intervalle de la forme [a, +∞[. »
Équivalence confondue avec « différence → 0 » (Q9)-2 pts
« Trop de candidats affirment que deux suites sont équivalentes si leur différence tend vers zéro, ou que si la différence de deux termes consécutifs d'une suite tend vers zéro alors cette suite est convergente, ou encore qu'une suite bornée est nécessairement convergente. »
Convergence dominée invoquée sans convergence (Q8, Q11)-2 pts
« Trop de candidats […] donnant alors pour équivalent de f(x) une fonction de u, voire une intégrale divergente en u, ceci en recourant à un théorème de convergence dominée alors que pour x = 0 il n'y a pas de convergence du tout ! »
Suite de polynômes confondue avec série entière (Q18)-2 pts
« Une autre erreur courante a été d'écrire la suite de polynômes (Pn) convergeant vers une fonction continue ψ sous la forme Pn(x) = Σ c_k x^k, ce qui faisait de ψ une fonction développable en série entière, ce qui est évidemment loin d'être toujours le cas. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2016 · PDF officiel ↗
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