Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet a pour objet d'établir le résultat suivant : le groupe orthogonal est « le plus gros » sous-groupe compact du groupe des matrices inversibles, en ce sens que tout sous-groupe compact qui le contient lui est égal. Bien qu'utilisant principalement le cours d'algèbre linéaire, il comporte aussi plusieurs questions de topologie. 22 questions, allant des matrices symétriques définies positives à l'enveloppe convexe, recouvrements finis, conjugaison de sous-groupes et symétries orthogonales.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q3 — Matrices symétriques définies positives(Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 : caractérisation de Sn++(R) par le spectre (théorème spectral en base orthonormée, sans quoi ‖XᵀAX‖ est faux). Q2 : factorisation S = RᵀR (justifier R inversible, RᵀR symétrique). Q3 : convexité de Sn++(R) (distinguer λ = 0, λ ∈ ]0,1[, λ = 1 ; pas de diagonalisation simultanée).
- Partie II — Q4-Q6 — Enveloppe convexe et compacité d'On(R)(Q4-Q6)Difficile
Q4 : Conv(K) compact si K compact, via φ continue bilinéaire et compacité du simplexe ℋ. Q6 : On(R) compact — On(R) n'est PAS {A : det = ±1} ! Fermé via image réciproque de Iₙ par A ↦ AᵀA, borné via colonnes.
- Partie III — Q7-Q12 — Recouvrements finis et action sur sous-groupes(Q7-Q12)Très difficile
Q7 : suite à éléments distants ≥ ε n'admet pas de sous-suite convergente (sans Cauchy). Q8 : par l'absurde CONSTRUCTIF (suite dans K dont aucun n'est dans la réunion). Q11 : N_G bien définie via continuité de A ↦ A(x) sur K. Q12 : sup atteint, colinéarité positive de x et y dans le cas d'égalité.
- Partie IV — Q13-Q22 — Point fixe, conjugaison et conclusion(Q13-Q22)Très difficile
Q13-Q14 : point fixe a de u via télescopage. Q15-Q17 : moyenne des u_i, point fixe commun, coefficient = 1. Q18 : intersection de fermés. Q19 : ρ_A linéaire continue bijective, H sous-groupe via ρ_AB = ρ_B ρ_A. Q20-Q22 : Δ et K compacts dans Sn++(R), conjugaison via N et symétries.
Analyse globale du jury
« Le jury salue : « De par son amplitude, l'étalement des notes de l'épreuve montre que celle-ci a bien joué son rôle, les tout meilleurs candidats étant parvenus à traiter la totalité du sujet quasiment sans faute. Un grand nombre d'entre eux ont abordé plusieurs questions de manière fructueuse, ce qui leur a permis d'obtenir une note tout à fait honorable ». Critique récurrente : « la présentation d'un grand nombre de copies est tout à fait insuffisante » avec ratures, passages barrés, insertions minuscules ; et « un grand nombre de copies sont des successions de calculs avec une rédaction réduite au minimum, alors qu'il est souvent nécessaire d'expliquer la méthode employée, de citer le théorème appliqué ou de justifier l'étape suivante du calcul ». »
Top pièges sanctionnés
Théorème spectral mal énoncé (Q1)-2 pts
« Il convient de rappeler que ce théorème affirme la diagonalisabilité de toute matrice symétrique dans une base orthonormée, sans quoi le calcul de XᵀAX était impossible ou faux. […] Les raisonnements ont souffert de nombreuses approximations : on prend le vecteur propre pour la valeur propre λ, on oublie de préciser que X est non nul. »
On(R) défini par déterminant ±1 (Q6)-2 pts
« Disons-le tout net : non, On(R) n'est pas l'ensemble des matrices de déterminant +1 ou −1, pas plus que ce n'est l'ensemble des matrices A telles que la trace de AᵀA est égale à n. Non, l'image réciproque d'un compact par une application continue n'est pas toujours un compact. Pas plus que l'image d'un fermé par une application continue n'est toujours un fermé. »
Recouvrement par boules sans raisonnement constructif (Q8)-3 pts
« On affirme que la propriété d'appartenance à une réunion finie des boules est fausse pour un choix de celles-ci alors qu'elle doit être fausse pour tout choix. […] En réalité, le raisonnement par l'absurde se doit d'être constructif : puisqu'on suppose que K n'est contenu dans aucune réunion finie de boules, on peut construire une suite de points de K tel qu'aucun n'appartienne à la réunion des boules de rayon ε centrées sur les précédents. »
Bijectivité d'application linéaire prouvée par f(x) = f(y) ⇒ x = y (Q19)-2 pts
« À ce niveau, un étudiant ne devrait pas établir l'injectivité d'une application linéaire f en prouvant que f(x) = f(y) implique x = y, mais recourir systématiquement à la notion de noyau. Last but not least, la continuité de ρ_A, que l'énoncé n'admet pas, puisqu'il admet seulement que pour tout M, l'application qui à A associe ρ_A(M) est continue. »
Inégalité triangulaire sur la norme « on passe au sup » (Q11)-1 pts
« Concernant les propriétés de la norme, l'inégalité triangulaire a été le plus souvent bien mal établie : un argument du type « on passe au sup » sans plus de précision a été sanctionné, car il fallait indiquer dans quel ordre on prenait les bornes supérieures de ‖u(x+y)‖, ‖u(x)‖ et ‖u(y)‖ pour donner au raisonnement toute sa rigueur. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2017 · PDF officiel ↗
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