Top piège du sujet
Théorème spectral mal énoncé (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet a pour objet d'établir le résultat suivant : le groupe orthogonal est « le plus gros » sous-groupe compact du groupe des matrices inversibles, en ce sens que tout sous-groupe compact qui le contient lui est égal. Bien qu'utilisant principalement le cours d'algèbre linéaire, il comporte aussi plusieurs questions de topologie. 22 questions, allant des matrices symétriques définies positives à l'enveloppe convexe, recouvrements finis, conjugaison de sous-groupes et symétries orthogonales.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q3, Matrices symétriques définies positives(Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 : caractérisation de Sn++(R) par le spectre (théorème spectral en base orthonormée, sans quoi ‖XᵀAX‖ est faux). Q2 : factorisation S = RᵀR (justifier R inversible, RᵀR symétrique). Q3 : convexité de Sn++(R) (distinguer λ = 0, λ ∈ ]0,1[, λ = 1 ; pas de diagonalisation simultanée).
- Partie II — Q4-Q6, Enveloppe convexe et compacité d'On(R)(Q4-Q6)Difficile
Q4 : Conv(K) compact si K compact, via φ continue bilinéaire et compacité du simplexe ℋ. Q6 : On(R) compact, On(R) n'est PAS {A : det = ±1} ! Fermé via image réciproque de Iₙ par A ↦ AᵀA, borné via colonnes.
- Partie III — Q7-Q12, Recouvrements finis et action sur sous-groupes(Q7-Q12)Très difficile
Q7 : suite à éléments distants ≥ ε n'admet pas de sous-suite convergente (sans Cauchy). Q8 : par l'absurde CONSTRUCTIF (suite dans K dont aucun n'est dans la réunion). Q11 : N_G bien définie via continuité de A ↦ A(x) sur K. Q12 : sup atteint, colinéarité positive de x et y dans le cas d'égalité.
- Partie IV — Q13-Q22, Point fixe, conjugaison et conclusion(Q13-Q22)Très difficile
Q13-Q14 : point fixe a de u via télescopage. Q15-Q17 : moyenne des u_i, point fixe commun, coefficient = 1. Q18 : intersection de fermés. Q19 : ρ_A linéaire continue bijective, H sous-groupe via ρ_AB = ρ_B ρ_A. Q20-Q22 : Δ et K compacts dans Sn++(R), conjugaison via N et symétries.
Analyse globale du jury
« Le jury salue : « De par son amplitude, l'étalement des notes de l'épreuve montre que celle-ci a bien joué son rôle, les tout meilleurs candidats étant parvenus à traiter la totalité du sujet quasiment sans faute. Un grand nombre d'entre eux ont abordé plusieurs questions de manière fructueuse, ce qui leur a permis d'obtenir une note tout à fait honorable ». Critique récurrente : « la présentation d'un grand nombre de copies est tout à fait insuffisante » avec ratures, passages barrés, insertions minuscules ; et « un grand nombre de copies sont des successions de calculs avec une rédaction réduite au minimum, alors qu'il est souvent nécessaire d'expliquer la méthode employée, de citer le théorème appliqué ou de justifier l'étape suivante du calcul ». »
Top pièges sanctionnés
Théorème spectral mal énoncé (Q1)-2 pts
« Il convient de rappeler que ce théorème affirme la diagonalisabilité de toute matrice symétrique dans une base orthonormée, sans quoi le calcul de XᵀAX était impossible ou faux. […] Les raisonnements ont souffert de nombreuses approximations : on prend le vecteur propre pour la valeur propre λ, on oublie de préciser que X est non nul. »
On(R) défini par déterminant ±1 (Q6)-2 pts
« Disons-le tout net : non, On(R) n'est pas l'ensemble des matrices de déterminant +1 ou −1, pas plus que ce n'est l'ensemble des matrices A telles que la trace de AᵀA est égale à n. Non, l'image réciproque d'un compact par une application continue n'est pas toujours un compact. Pas plus que l'image d'un fermé par une application continue n'est toujours un fermé. »
Recouvrement par boules sans raisonnement constructif (Q8)-3 pts
« On affirme que la propriété d'appartenance à une réunion finie des boules est fausse pour un choix de celles-ci alors qu'elle doit être fausse pour tout choix. […] En réalité, le raisonnement par l'absurde se doit d'être constructif : puisqu'on suppose que K n'est contenu dans aucune réunion finie de boules, on peut construire une suite de points de K tel qu'aucun n'appartienne à la réunion des boules de rayon ε centrées sur les précédents. »
Bijectivité d'application linéaire prouvée par f(x) = f(y) ⇒ x = y (Q19)-2 pts
« À ce niveau, un étudiant ne devrait pas établir l'injectivité d'une application linéaire f en prouvant que f(x) = f(y) implique x = y, mais recourir systématiquement à la notion de noyau. Last but not least, la continuité de ρ_A, que l'énoncé n'admet pas, puisqu'il admet seulement que pour tout M, l'application qui à A associe ρ_A(M) est continue. »
Inégalité triangulaire sur la norme « on passe au sup » (Q11)-1 pts
« Concernant les propriétés de la norme, l'inégalité triangulaire a été le plus souvent bien mal établie : un argument du type « on passe au sup » sans plus de précision a été sanctionné, car il fallait indiquer dans quel ordre on prenait les bornes supérieures de ‖u(x+y)‖, ‖u(x)‖ et ‖u(y)‖ pour donner au raisonnement toute sa rigueur. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2017 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths II 2017
L'épreuve Maths II Mines-Ponts MP 2017 s'est déroulée fin avril 2017, durée 4h, coefficient 5, l'épreuve de mathématiques la plus pondérée du concours pour la filière MP.
Le problème établit que le groupe orthogonal On(R) est « le plus gros » sous-groupe compact de GLn(R) : tout sous-groupe compact qui le contient lui est égal. 22 questions articulant matrices symétriques définies positives Sn++(R) (Q1-Q3), enveloppe convexe et compacité d'On(R) (Q4-Q6), recouvrements finis et action de groupe (Q7-Q12), puis point fixe commun et conjugaison par symétries orthogonales (Q13-Q22). Mélange équilibré algèbre linéaire / topologie.
Le jury salue l'étalement des notes : « De par son amplitude, l'étalement des notes de l'épreuve montre que celle-ci a bien joué son rôle, les tout meilleurs candidats étant parvenus à traiter la totalité du sujet quasiment sans faute ». Difficulté évaluée ★★★★/5.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury identifie deux travers majeurs : « la présentation d'un grand nombre de copies est tout à fait insuffisante » et « un grand nombre de copies sont des successions de calculs avec une rédaction réduite au minimum ». Stratégie clé : expliquer la méthode, citer le théorème, justifier chaque étape.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Q1 : théorème spectral avec « base ORTHONORMÉE » + X ≠ 0. Q2 : S = RᵀR, justifier R inversible ET RᵀR symétrique. Q3 : distinguer λ = 0, λ ∈ ]0,1[, λ = 1. Q4 : Conv(K) compact via φ continue (bilinéaire) et compacité du simplexe ℋ. Q6 : On(R) = {A : AᵀA = Iₙ}, image réciproque de Iₙ par application polynomiale.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q8 : par l'absurde CONSTRUCTIF (construire la suite). Q11 : N_G(u) = sup ‖u(x)‖ via image continue de K compact. Q12 : sup atteint et colinéarité positive de x, y dans le cas d'égalité. Q13-Q17 : point fixe a, moyenne des u_i, télescopage, coefficient égal à 1. Q19 : injectivité de ρ_A via le noyau, continuité admise. Q20-Q22 : Δ compact dans Sn++(R), N pour conjuguer G_1 ⊂ On(R), symétries orthogonales.
Gestion des 4h : 1h sur Q1-Q6 (algèbre linéaire et compacité, points sûrs), 1h30 sur Q7-Q12 (topologie et action de groupe), 1h sur Q13-Q19 (point fixe commun, ρ_A), 30 min sur Q20-Q22 (synthèse). Le jury insiste : « ne pas faire impasse sur la topologie, travailler les techniques de calcul et s'entraîner à traiter un problème dans sa globalité plutôt que de le voir comme une succession d'exercices ».
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Théorème spectral, pas « spectrale » : orthographe du jury surveillée. Et toujours préciser « base orthonormée » sans quoi ‖XᵀAX‖ et l'identité ‖Σ x_i e_i‖² = Σ x_i² sont fausses.
- On(R) ≠ {det = ±1} : c'est {A : AᵀA = Iₙ}. La caractérisation par le déterminant est insuffisante. Compacité via image réciproque de Iₙ par application polynomiale + caractère borné.
- Raisonnement par l'absurde CONSTRUCTIF : pour Q8, construire explicitement la suite (x_n) dans K dont aucun n'est dans la réunion des boules autour des précédents. Pas d'argument vague.
- Bijectivité d'application linéaire = noyau : ne pas écrire « f(x) = f(y) ⇒ x = y » mais raisonner sur Ker(f). Démarche systématique en MP.
- Soigner la rédaction : le jury déplore « ratures, passages barrés, insertions minuscules, encre pâle, raisonnement qui s'arrête net laissant au correcteur le soin de conclure ». Expliquer la méthode et citer les théorèmes utilisés est rémunéré.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ