Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude de « la fonction de Wallis », notée f, sous différents aspects : domaine de définition, régularité, variations, convexité, « développabilité en série entière », caractérisation par une relation fonctionnelle. Sujet commun MP/MPI couvrant presque tout le programme d'analyse de 1ère et 2ème années, dans l'esprit des filières MPSI, MP et MPI. Difficulté et longueur raisonnables, techniques et savoirs conformes aux programmes.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Série entière préliminaire et calcul de ζ(2)(Q1-Q3)Abordable
Q1 — convergence normale sur [-1,1] de la série entière, abordée par tous, méritait organisation. Q2 — analyse/synthèse pour le couple cherché, confusion fréquente. Q3 — prolongement par continuité de classe C¹ : devine la démarche puis conclut sans justification (souvent).
- Partie II — Régularité, intégration par parties et résultats asymptotiques(Q4-Q9)Niveau attendu
Q4-Q5 — domaine de définition de f, continuité de l'intégrande, IPP sur intégrales impropres. Q6-Q7 — limites en -1, 0 et +∞ : asymptotes verticale et horizontale via la convergence dominée. Q8 — notation $\binom{n}{α}$ pour α non entier (hors programme officiel).
- Partie III — Équivalent asymptotique de f^(n)(0) et série entière(Q10-Q13)Difficile
Q10 délicate (changement de variable + second volet quasiment pas traité). Q11 — théorème d'intégration terme à terme souvent délaissé. Q12 — démarche attendue par calcul + convergence simple, beaucoup s'y perdent.
- Partie IV — Évaluation de f''(0) par Parseval et convergence dominée(Q14-Q18)Très difficile
Partie 4 plus technique. Q15 conclusion technique de la partie 4, abordée marginalement. Q16 — la stricte positivité de f éludée ; argument fallacieux « intégrable car produit de fonctions intégrables » fréquent. Cauchy-Schwarz sur intégrales non généralisées.
- Partie V — Caractérisation par relation fonctionnelle et généralisation(Q19-Q21)Très difficile
Convexité logarithmique et relation fonctionnelle pour caractériser f. Q19 question très peu abordée (quid des réels entre -1 et 0 ?). Q21 dernière question, pourtant facile, abordée par un nombre très restreint de candidats.
Analyse globale du jury
« Le jury relève unanimement un important relâchement dans la présentation des copies par rapport aux éditions précédentes : copies à la limite de la lisibilité, rédaction quasi-absente, fautes d'orthographe. Beaucoup de candidats ont essayé de traiter un très grand nombre de questions en survolant tout — ces copies ont reçu une note très faible. Le picorage est très fortement déconseillé. L'observation générale est le manque de soin dans la vérification des hypothèses des théorèmes — exemple le plus flagrant : les produits de Cauchy, dont les hypothèses ne sont qu'épisodiquement rappelées. Les candidats maîtrisant le programme et les attendus de rédaction se sont très facilement détachés des autres. »
Top pièges sanctionnés
Hypothèses du théorème de convergence dominée non vérifiées-2 pts
« L'exemple le plus flagrant de cette tendance est celui des produits de Cauchy (de séries entières ou de séries numériques), dont les hypothèses ne sont qu'épisodiquement rappelées, et encore plus épisodiquement vérifiées avec rigueur. »
Cauchy-Schwarz invoqué en dehors du programme (Q16)-2 pts
« Dans le programme officiel, l'inégalité de Cauchy-Schwarz ne figure que pour le cas des intégrales « non généralisées ». A priori, un raisonnement par « passage à la limite » était donc indispensable. Mentionnons l'argument fallacieux rencontré ici : « intégrable car produit de deux fonctions intégrables ». »
Picorage / grapillage massif de questions-3 pts
« Beaucoup de candidats ont essayé de traiter un très grand nombre de questions, mais en survolant absolument tout. En général, ces copies ont reçu une note très faible. Le picorage est très fortement déconseillé. »
Confusion analyse/synthèse (Q2)-1 pts
« La confusion entre analyse et synthèse est fréquente. Il était bien sûr possible de raisonner par équivalences logiques ce qui n'est presque jamais fait correctement. »
Rayon de convergence — oubli de la valeur absolue-2 pts
« Presque tous les candidats oublient de considérer la valeur absolue du terme général, beaucoup tentent de manipuler des inégalités entre les sommes de séries entières (sans que rien n'ait vraiment été bien justifié) pour conclure sur les rayons de convergence. »
Présentation dégradée — copies illisibles et fautes d'orthographe-2 pts
« Une partie non négligeable des copies présente des insuffisances criantes en terme de présentation, de lisibilité et de syntaxe (exemple : « c'est du Riemann avec 2>1 »). L'usage d'un brouillon semble être désormais abandonné, à tort, par de nombreux candidats. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2023 · PDF officiel ↗
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