Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude d'une somme de série de fonctions, que Riemann aurait proposée vers 1860 comme exemple de fonction partout continue et nulle part dérivable. Hardy (1916) et Gerver (1968) ont montré que R est dérivable exactement aux πr avec r rationnel à numérateur et dénominateur impairs. L'énoncé se limite à montrer la non-dérivabilité de R en 0 par des moyens élémentaires, et sa dérivabilité en π via la formule sommatoire de Poisson.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Convergence normale et continuité (Q1-Q3)(Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 convergence normale (avec continuité du terme général), pas conclusion elliptique. Q2 prolongement continu en 0 et convergence absolue sur [1, +∞[ — ne pas affirmer la convergence de ∫.…
- Partie II — Partie II — Sommes de Riemann et convergence dominée (Q4-Q7)(Q4-Q7)Difficile
Q4 majoration de |S(h)| confondue avec convergence absolue. Q5 analogie avec sommes de Riemann — ϕh constante sur [nh, (n+1)h[, relation de Chasles. Q6 inégalités folkloriques (x ≤ ⌊x⌋), partie entière correcte (⌊x⌋ ≥ x-1).…
- Partie III — Partie III — Non-dérivabilité en 0 et formule sommatoire de Poisson(Q8-)Très difficile
Q8 équivalent R(x) implique non-dérivabilité en 0. Suite via formule sommatoire de Poisson pour la dérivabilité en π.
Analyse globale du jury
« Ce problème a été mieux réussi que ceux des années précédentes, peut-être parce qu'il abordait des thèmes sur lesquels la majorité des candidats est très entraînée et assez à l'aise. Parmi les motifs de satisfaction du jury, notons une bonne compréhension assez générale de la notion de convergence absolue (des séries et des intégrales). Parmi les points à consolider, le jury regrette le manque de familiarité avec l'exponentielle complexe d'un trop grand nombre de candidats, qui se sentent obligés de revenir systématiquement aux fonctions cos et sin — choix regrettable souvent générateur de perte de temps. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — convergence normale non nommée-1 pts
« Certains candidats rédigent cette question de façon trop elliptique, concluant directement à la continuité de la fonction R à partir de la majoration et de la convergence de la série, sans citer la notion de convergence normale. »
Q3 — inégalités entre nombres complexes-2 pts
« Le théorème de continuité sous le signe intégrale montre à la fois la bonne définition de la fonction et sa continuité. Ici encore, le rôle des valeurs absolues était décisif, et le jury a trop souvent lu des inégalités entre nombres complexes. »
Q4 — majorer |S(h)| pour montrer l'existence de S(h)-1 pts
« Certains candidats croient montrer l'existence de la somme S(h) en majorant... |S(h)|. Heureusement, l'argument de convergence absolue a très souvent été donné. »
Q5 — sommes de Riemann vs intégrale comme somme-1 pts
« De très nombreux candidats ont décelé dans cette question une analogie avec les sommes de Riemann, à ceci près que l'intégrale de ϕh doit être vue ici comme une somme de Riemann (certes sur un intervalle non borné), et non une limite de sommes de Riemann. »
Q6 — inégalités folkloriques (x ≤ ⌊x⌋)-2 pts
« Cette question a donné lieu à des inégalités folkloriques (x ≤ ⌊x⌋), voire ouvertement malhonnêtes, qui ont été inévitablement sanctionnées. Les correcteurs ont été attentifs à une utilisation correcte de la partie entière (⌊x⌋ ≥ x − 1) et au rôle de la précision h ≤ 1. »
Q7 — convergence dominée sans nommage-2 pts
« Un grand nombre de candidats a pensé à utiliser le théorème de convergence dominée (sans, hélas, toujours le nommer, cf. la question 1), dont il fallait bien sûr vérifier soigneusement toutes les hypothèses. Or, la justification de la convergence simple de ϕh vers f, ainsi que l'hypothèse de domination sur [0, 1], ont été souvent oubliées. »
Retour systématique aux cos/sin au lieu de l'exponentielle complexe-1 pts
« Le jury regrette le manque de familiarité avec l'exponentielle complexe d'un trop grand nombre de candidats, qui se sentent obligés de revenir systématiquement aux fonctions cos et sin. Ce choix regrettable est souvent générateur de perte de temps. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2019 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
