Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration que l'ensemble des fonctions de la forme x ↦ P(x) e^{-x²/2} avec P polynôme réel est dense dans l'espace des fonctions continues et de carré intégrable sur R (limité aux fonctions paires à support compact). Sujet extrêmement progressif balayant : fonctions d'une variable réelle, intégration, séries numériques et entières, produits scalaires et espaces euclidiens, espaces normés. Première partie (7 questions) : cours et applications.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Fonction Γ et séries (Q1-Q4)(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 t↦t^{x-1}e^{-t} continue/intégrable sur ]0,+∞[ ; positivité stricte avec continue, positive, non identiquement nulle. Q2 contrôle de [-t^x e^{-t}] aux bornes. Q3 règle de d'Alembert au programme — valeurs absolues, limite, an+1/an → 1 donc R=1.…
- Partie II — Partie II — Espaces euclidiens et projection (Q5-Q12)(Q5-Q12)Difficile
Q5 cours : F dimension finie ⇒ E = F ⊕ F⊥ ⇒ πF. Q6 πF(x) caractérisé par <πF(x), ei> = <x, ei>. Q7 πF(x) et x-πF(x) orthogonaux (pas x et πF(x)). Q8 ab ≤ (a²+b²)/2 — pas appliquer la valeur absolue. Q9 imprudence sur ∫ avant d'avoir justifié la convergence — majoration de |x^α e^{-x} f(x) g(x)|.…
- Partie III — Partie III — Polynômes orthogonaux (Q13-Q19)(Q13-Q19)Très difficile
Q13 formule de Leibniz (pas récurrence pesante). Q14 ∫ x^α e^{-x} f(x)² dx = 0 ⇒ f = 0 — continuité, positivité, infini de racines. Q16 IPP successives avec termes tout-intégrés nuls via Q15. Q17 escroqueries pour faire apparaître n!. Q19 conclusion abusive sur la somme.
Analyse globale du jury
« Sujet extrêmement progressif balayant un grand nombre de chapitres du programme. La première partie (7 questions) est constituée uniquement de questions de cours ou très proches du cours. La deuxième partie demandait un peu plus d'initiative mais restait largement accessible. Les trois quarts des points du barème étaient concentrés sur les deux premières parties — il était donc possible d'obtenir une bonne note sans aborder la dernière partie. Le jury a eu plaisir à lire des copies bien rédigées et clairement présentées. Les copies des candidats faisant preuve de négligence ou d'à-peu-près ont été corrigées sans indulgence. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — t^{x-1} e^{-t} continue sur [0,+∞[-2 pts
« Parmi les affirmations fausses le plus souvent lues, citons : la fonction t↦t^{x-1}e^{-t} est continue sur [0, +∞[ (ou : se prolonge continûment en 0), donc « il n'y a pas de problème en 0 » ; t^{x-1}e^{-t} ~ e^{-t}, ou t^{x-1}e^{-t} = O(e^{-t}), quand t → +∞. »
Q4 — convergence uniforme de la série entière confondue avec interversion somme/intégrale-2 pts
« La convergence uniforme ou normale sur ]-1, 1[ de la série entière Σan x^n est souvent mentionnée, alors que d'une part elle est fausse, et que de toute façon elle n'a guère de rapport avec l'interversion d'une somme et d'une intégrale dont la variable est t. »
Q7 — x et πF(x) orthogonaux (faux)-1 pts
« Cette question de cours a été mieux traitée que les deux précédentes, mais l'argument essentiel (πF(x) et x − πF(x) sont orthogonaux) n'apparaît pas toujours clairement. Un nombre non négligeable de candidats pense que x et πF(x) sont orthogonaux. »
Q9 — ∫ avant justification de convergence-2 pts
« Dans cette question, le jury a constaté une recrudescence sans précédent de l'usage imprudent de la notation ∫_{-∞}^{+∞} φ(x)dx avant d'avoir justifié la convergence de l'intégrale. »
Q11 — (Σ ai x^i)² = Σ ai² x^{2i}-2 pts
« Signalons également l'identité fantaisiste (Σ ai x^i)² = Σ ai² x^{2i}, trop fréquemment trouvée dans les copies. »
Q13 — récurrence au lieu de Leibniz-1 pts
« La façon la plus simple de traiter cette question était d'utiliser la formule de Leibniz. Faute d'y avoir songé, de nombreux candidats se sont lancés dans des récurrences pesantes et en général incomplètes, voire franchement malhonnêtes. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2020 · PDF officiel ↗
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