Top piège du sujet
Spectre d'une somme de matrices et confusion réelles/complexes
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.34
Médiane
9.2
Écart-type
4.05
Q1 (25%)
6.4
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
—
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.15 par rapport à 2024 (9.34 vs 9.19). Écart-type stable (σ=4.05).
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en deux parties autour de modèles probabilistes de ferromagnétisme. La partie A étudie les valeurs propres de matrices symétriques Jₙ, algèbre linéaire et réduction. La partie B étudie des variables aléatoires sur {-1,1}ⁿ de loi proportionnelle à exp(-Hₙ(h,x)), et le passage à la limite n→+∞ de la magnétisation et de la pression. Un sujet très long (44 questions) mêlant analyse, algèbre et probabilités.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A, Valeurs propres de matrices Jₙ (algèbre linéaire)(Q1-Q17)Niveau attendu
Réduction de matrices symétriques réelles, polynômes annulateurs, produits par blocs, somme de matrices A⊗B. Partie globalement bien traitée si les bases d'algèbre sont solides, environ un tiers des candidats trébuchent dès Q2.
- Partie II — Partie B, Magnétisation, pression et passage à la limite (analyse + probas)(Q18-Q44)Très difficile
Théorème de transfert, dérivabilité de Zₙ, intégrale de Gauss, comportement asymptotique de (1/n) ln(tr(Aⁿ)). Vision globale du programme exigée. Statistiquement, hormis ~100 copies, les réponses satisfaisantes ne concernent qu'une trentaine des 44 questions.
Analyse globale du jury
« La partie A qui ne concerne essentiellement que l'algèbre linéaire a été moyennement bien traitée. Près d'un tiers des candidats échouent sur la question Q2, qui nécessite de comprendre comment transformer une expression de la forme Σ Jₙ(i,j)xᵢxⱼ. Beaucoup trop de candidats semblent penser que si une matrice carrée A vérifie P(A) = 0 pour un certain polynôme non constant P, alors toutes les racines de P sont des valeurs propres de A. La partie B se concentre essentiellement sur des questions d'analyse-probabilités. Cette partie a été beaucoup moins bien traitée car certaines questions nécessitent une vision globale du programme. À partir de Q31, le sujet devient assez difficile : de rares candidats (moins de 5%) arrivent à avancer sur cette suite et fin du sujet. »
Top pièges sanctionnés
Spectre d'une somme de matrices et confusion réelles/complexes-2 pts
« Signalons que l'égalité de spectre d'une somme de matrices Sp(A+B) = Sp(A)+Sp(B) est un mythe (hormis si A ou B est une matrice scalaire). Un autre mythe est que les valeurs propres réelles d'une matrice réelle sont les parties réelles de ses valeurs propres complexes. »
Polynôme annulateur ⇒ spectre exact (FAUX)-2 pts
« Dans un nombre conséquent de copies, le fait que Xⁿ - 1 soit un polynôme annulateur semble suffisant pour en déduire directement la description exacte du spectre avec les racines n-ièmes de l'unité. »
Théorème spectral mal énoncé-1 pts
« Le théorème spectral énonce que toute matrice carrée symétrique réelle est diagonalisable. Le mot « réelle » a souvent été oublié. »
Récurrence formellement incorrecte (∃ vs ∀)-1 pts
« Faire une récurrence ne signifie pas montrer ∃k ∈ {0,...,n-1} P(k) ⇒ P(k+1), mais plutôt ∀k ∈ {0,...,n-1} P(k) ⇒ P(k+1). »
Convergence de l'intégrale de Gauss bâclée-1 pts
« On demande de justifier la convergence de l'intégrale de Gauss ∫ exp(-x²/2) dx. Le jury est globalement déçu des prestations car il devrait s'agit d'une formalité. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2025 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec MP 2025 s'est déroulée fin avril 2025, en 4 heures, coefficient 19. Sujet commun aux filières MP et MPI.
Le sujet étudie des fonctions associées à plusieurs modèles probabilistes de ferromagnétisme. La partie A porte sur les valeurs propres de matrices symétriques Jₙ, algèbre linéaire pure. La partie B traite des variables aléatoires sur ⁿ de loi proportionnelle à exp(-Hₙ(h,x)) et du passage à la limite n→+∞ de deux quantités appelées magnétisation et pression. Vers la fin, le programme de probabilités est mobilisé.
L'épreuve compte 44 questions, ce qui en fait un sujet très long. Moyenne brute 9.34/20, écart-type 4.05. Médiane 9.20, Q1 6.40, Q3 12.00. Statistiquement, le jury indique que « hormis une centaine de copies, les réponses satisfaisantes ne concernent essentiellement qu'une trentaine de questions ». La dernière question n'a été bien traitée que dans une seule copie.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury insiste : « la longueur d'un sujet ne saurait justifier d'écrire très rapidement des réponses de type brouillon ». Stratégie clé : traiter la partie A intégralement et solidement (algèbre linéaire = points sûrs si le cours est maîtrisé), puis avancer méthodiquement dans la partie B sans s'obstiner sur les questions techniques.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Vise les Q1-Q17 (partie A) : théorème spectral, polynômes annulateurs, produits par blocs. Évite le piège Q2 (transformer Σ Jₙ(i,j)xᵢxⱼ via les valeurs propres). Pousse jusqu'à Q22 dans la partie B (équation du second degré + discriminant positif).
Si tu vises 14+ (top 10%)
Aborde sérieusement Q23-Q30 (suites avec paramètre n, intégrale de Gauss, mise sous forme canonique de ut - t²/2a). Q29 demande de réfléchir à (a₁+...+aₙ)³ vs ΣΣΣaᵢaⱼaₖ, les meilleurs candidats vont jusque-là. Au-delà de Q31, le jury indique que moins de 5% des candidats avancent.
Gestion des 4h : 1h45 sur la partie A (Q1-Q17, viser les 17 questions complètes), 1h45 sur Q18-Q30 de la partie B (théorème de transfert, intégrale de Gauss, calculs avec les Λₙ), 30 min sur Q31-Q35 si tu en as encore le temps. Privilégie la qualité de rédaction au volume : les copies « brouillon » sont pénalisées.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Énoncer rigoureusement les théorèmes du cours : le théorème spectral concerne les matrices symétriques réelles (mot trop souvent oublié).
- Mettre en avant les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer directement. Cela permet souvent de mieux cerner les difficultés inhérentes à une question.
- Annoncer la nature d'une démonstration (récurrence, absurde) avant de la mener. Distinguer ∃k P(k)⇒P(k+1) (faux) et ∀k P(k)⇒P(k+1) (correct).
- Bannir le brouillon écrit : pas de quantificateurs ∃/∀ dans des phrases françaises, pas d'abréviations type « Thm », pas de « théorème spectralE, reccurence, on a que ».
- Ne pas tricher sur les questions à résultat donné. Le jury pénalise les rédactions « qui noient les arguments et calculs et dont le seul but est d'arriver à la conclusion quoi qu'il en coûte ».
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ