Quel est le formulaire de maths le plus important en Spé ?

Aucune section n'est optionnelle, mais les développements en série entière usuels et les lois de probabilités discrètes reviennent dans presque tous les sujets. Les DSE de l'exponentielle, du cosinus, du sinus et de la géométrique se retrouvent en trente secondes par la formule de Taylor, donc vise à les reconstruire plutôt qu'à les réciter. Pour les lois, apprends chaque bloc en entier (loi, espérance, variance) car König-Huygens fait gagner un temps précieux.

Faut-il apprendre le formulaire par cœur ou savoir le retrouver ?

Les deux, dans cet ordre. Un formulaire qu'on sait re-démontrer ne se perd jamais un jour de trou de mémoire. Les développements en série entière viennent de Taylor, la variance vient de la définition, le rayon de convergence sort de la règle de d'Alembert. Une fois le mécanisme compris, la mémorisation devient un simple gain de vitesse, pas une béquille. C'est ce réflexe qui sauve en concours quand une formule s'efface d'un coup.

Quelle convention utiliser pour les séries de Fourier ?

La convention varie selon les livres, ce qui fait tomber Parseval faux d'un facteur 2 ou 4 quand on mélange. Fixe-toi sur celle du programme : le terme constant s'écrit a0 sur 2, et les coefficients valent 2 sur T fois l'intégrale sur une période. Avec cette convention, Parseval donne la moyenne du carré égale à a0²/4 plus un demi de la somme des a_n² et b_n². Les séries de Fourier concernent la MP et la PSI, pas la PC.

Comment montrer rapidement qu'une matrice est diagonalisable ?

Avant de calculer les sous-espaces propres, vérifie deux raccourcis. Si la matrice possède n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. Si un polynôme annulateur scindé à racines simples est donné par l'énoncé, elle l'est aussi. Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable en base orthonormée par le théorème spectral. Ces trois portes d'entrée évitent souvent des pages de calcul de dimensions de sous-espaces propres.

Formulaire de maths de Spé (MP, PC, PSI) : l'essentiel

Le jour d'un DS de Spé, tu bloques trente secondes sur le rayon de convergence de $\arctan$ , tu hésites entre $a_0$ et $a_0/2$ dans une série de Fourier, tu recalcules une variance par la définition alors que König-Huygens la donne en une ligne. Ces secondes coûtent cher. Le formulaire de maths de Spé est là pour qu'aucune de ces formules ne te ralentisse jamais.

Cette page rassemble l'essentiel de deuxième année pour la MP, la PC et la PSI : critères de séries, intégrales généralisées, développements en série entière, séries de Fourier, réduction, probabilités et équations différentielles. Chaque formule respecte les conventions du programme. Il prolonge celui de première année, alors garde sous la main le formulaire de maths de Sup à connaître pour les bases sur lesquelles tout ceci s'appuie.

Un formulaire ne se lit pas, il se re-démontre. Les développements de $\cos$ , $\sin$ et $e^x$ se retrouvent en trente secondes par la formule de Taylor. Garde ce réflexe plutôt que le par-cœur pur : le jour d'un trou de mémoire, c'est lui qui te sauve. Pour l'ancrer, la répétition espacée sur les démonstrations aide, comme on l'explique dans les flashcards de démonstrations en prépa.

Analyse · commun MP PC PSI

Séries numériques : les critères

Une série $\sum u_n$ converge quand la suite de ses sommes partielles admet une limite finie. La condition nécessaire de base : si $\sum u_n$ converge alors $u_n \to 0$ . La réciproque est fausse, $\sum \frac{1}{n}$ diverge alors que son terme tend vers zéro. Les critères comparent une série à une série de référence. Pour manier les équivalents, revois le calcul de limites de suites et de fonctions.

Critère	Énoncé
Riemann	$\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$
Géométrique	$\sum_{n\ge 0} q^{n}$ converge si et seulement si $\|q\| < 1$ , avec $\sum_{n=0}^{+\infty} q^{n} = \frac{1}{1-q}$
Comparaison (termes positifs)	$0 \le u_n \le v_n$ , alors $\sum v_n$ converge entraîne $\sum u_n$ converge
Équivalence (termes positifs)	$u_n \sim v_n \ge 0$ entraîne même nature des deux séries
Règle de d'Alembert	$u_n>0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to\ell$ : converge si $\ell<1$ , diverge si $\ell>1$ , cas douteux si $\ell=1$
Convergence absolue	$\sum \|u_n\|$ converge entraîne $\sum u_n$ converge
Séries alternées (CSSA)	$(a_n)$ positive décroissante de limite nulle, alors $\sum (-1)^{n} a_n$ converge, et $\left\|\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k a_k\right\| \le a_{n+1}$
Comparaison série intégrale	$f$ continue positive décroissante, alors $\sum f(n)$ et $\int_1^{+\infty} f$ ont même nature

Analyse · commun MP PC PSI

Intégrales généralisées

Une intégrale est généralisée quand une borne est infinie ou que la fonction n'est pas définie en un bord. On étudie sa convergence par les mêmes réflexes que les séries : intégrales de référence, comparaison et équivalence au voisinage de la borne impropre, convergence absolue. Deux valeurs remarquables se retiennent par cœur. Pour les calculer, appuie-toi sur le calcul intégral et les primitives.

Intégrale	Résultat
Riemann en $+\infty$	$\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$
Riemann en $0$	$\int_{0}^{1} \frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$
Exponentielle	$\int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \frac{1}{\lambda}$ pour $\lambda>0$
Intégrale de Gauss	$\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Analyse · commun MP PC PSI

Séries entières et développements usuels

Une série entière $\sum a_n x^n$ possède un rayon de convergence $R$ . Le lemme d'Abel garantit la convergence absolue pour $|x|<R$ et la divergence pour $|x|>R$ . Quand $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to\ell$ non nul, on lit directement $R = \frac{1}{\ell}$ . Les développements ci-dessous se reconstruisent tous par la formule de Taylor, à commencer par celui de la fonction exponentielle.

Fonction	Développement	Rayon
$e^{x}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!}$	$+\infty$
$\cos x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$+\infty$
$\sin x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$+\infty$
$\cosh x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$+\infty$
$\sinh x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$+\infty$
$\dfrac{1}{1-x}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n}$	$1$
$\dfrac{1}{1+x}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} x^{n}$	$1$
$\ln(1+x)$	$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$	$1$
$\arctan x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$1$
$(1+x)^{\alpha}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} x^{n}$ , avec $\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$	$1$ si $\alpha\notin\mathbb N$

Analyse · MP et PSI

Séries de Fourier

Cette section concerne la MP et la PSI, pas la PC. Pour une fonction $T$ -périodique, on pose la pulsation $\omega=\frac{2\pi}{T}$ et on utilise la convention du programme, avec le terme constant écrit $\frac{a_0}{2}$ et le facteur $\frac{2}{T}$ devant les intégrales.

Objet	Formule
Coefficient $a_n$ (pour $n\ge 0$ )	$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\,dt$ , et $\frac{a_0}{2}$ est la valeur moyenne
Coefficient $b_n$ (pour $n\ge 1$ )	$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,dt$
Coefficient complexe $c_n$	$c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-in\omega t}\,dt$ , avec $c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$ et $c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}$ (pour $n\ge 1$ )
Série de Fourier	$S(f)(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\bigr) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega t}$
Théorème de Dirichlet	$f$ de classe $C^1$ par morceaux, la série converge vers $\frac{f(t^+)+f(t^-)}{2}$
Formule de Parseval	$\frac{1}{T}\int_0^T \|f\|^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\|c_n\|^2$

Attention aux conventions. Le $\frac{a_0}{2}$ et le $\frac{2}{T}$ changent d'un livre à l'autre. Si tu mélanges deux conventions, Parseval tombe faux d'un facteur 2 ou 4. Fixe-toi sur celle retenue ici, celle du programme, et ne la lâche plus.

Algèbre · commun MP PC PSI

Réduction des matrices

Réduire une matrice, c'est trouver une base où elle devient simple, souvent diagonale. Le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I_n - A)$ donne les valeurs propres : $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $\det(A-\lambda I_n)=0$ . Le sous-espace propre associé est $E_\lambda=\ker(A-\lambda I_n)$ , et sa dimension reste inférieure ou égale à la multiplicité algébrique de $\lambda$ .

Résultat	Énoncé
Trace et déterminant	$\operatorname{tr}(A)=\sum\lambda_i$ et $\det(A)=\prod\lambda_i$
Critère de diagonalisation	$A$ diagonalisable si et seulement si $\sum\dim E_\lambda=n$ , ce qui équivaut à $\chi_A$ scindé avec $\dim E_\lambda$ égale à la multiplicité, ou à un polynôme annulateur scindé à racines simples
Condition suffisante	$n$ valeurs propres distinctes entraîne $A$ diagonalisable
Puissances	$A=PDP^{-1}$ avec $D=\operatorname{diag}(\lambda_i)$ , alors $A^k=PD^kP^{-1}$
Cayley-Hamilton	$\chi_A(A)=0$
Théorème spectral	$A$ symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée, $A=PDP^{\top}$ avec $P$ orthogonale

Trois portes d'entrée pour diagonaliser. Avant de calculer les sous-espaces propres, teste d'abord $n$ valeurs propres distinctes, puis un polynôme annulateur scindé à racines simples (souvent donné par l'énoncé), puis la symétrie réelle. L'une des trois te fait souvent gagner plusieurs pages.

Probabilités · commun MP PC PSI

Variables aléatoires discrètes

L'espérance vaut $E(X)=\sum_i x_i P(X=x_i)$ et reste linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ . Le théorème de transfert donne $E(g(X))=\sum_i g(x_i)P(X=x_i)$ . Pour la variance, personne ne repasse par la définition en concours : on applique König-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , avec $V(aX+b)=a^2V(X)$ et l'écart-type $\sigma=\sqrt{V(X)}$ .

Résultat	Formule
Indépendance	$X,Y$ indépendantes, alors $E(XY)=E(X)E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
Covariance	$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ , et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$
Bienaymé-Tchebychev	$P(\|X-E(X)\|\ge\varepsilon)\le\frac{V(X)}{\varepsilon^2}$
Probabilités totales	$P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)P(A_i)$
Formule de Bayes	$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)P(A_j)}$

Chaque loi usuelle s'apprend en bloc : la loi, son espérance, sa variance. C'est le meilleur moyen de ne jamais confondre une binomiale et une géométrique le jour J.

Loi	Probabilité	Espérance	Variance
Bernoulli $\mathcal B(p)$	$P(X=1)=p$	$p$	$p(1-p)$
Binomiale $\mathcal B(n,p)$	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
Géométrique $\mathcal G(p)$	$(1-p)^{k-1}p$ pour $k\ge 1$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
Poisson $\mathcal P(\lambda)$	$e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$
Uniforme sur $\{1,\dots,n\}$	$\frac{1}{n}$	$\frac{n+1}{2}$	$\frac{n^2-1}{12}$

Analyse · commun MP PC PSI

Équations différentielles linéaires

La solution générale d'une équation linéaire est toujours la somme d'une solution particulière et de la solution homogène. Les solutions homogènes forment un espace vectoriel, de dimension 1 à l'ordre 1 et de dimension 2 à l'ordre 2. Le théorème de Cauchy linéaire assure que, si les coefficients sont continus sur un intervalle $I$ , il existe une unique solution vérifiant des conditions initiales données, définie sur $I$ tout entier.

Équation	Solutions
Ordre 1 : $y'+a(t)y=b(t)$	homogène $y_h=Ke^{-A(t)}$ avec $A'=a$ , puis variation de la constante $y_p=\lambda(t)e^{-A(t)}$ où $\lambda'=b\,e^{A}$
Ordre 2, cas $\Delta>0$	racines $r_1,r_2$ réelles : $y=\lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$
Ordre 2, cas $\Delta=0$	racine double $r$ : $y=(\lambda+\mu t)e^{rt}$
Ordre 2, cas $\Delta<0$	racines $\alpha\pm i\beta$ : $y=e^{\alpha t}(\lambda\cos\beta t+\mu\sin\beta t)$

À l'ordre 2, l'équation caractéristique est $r^2+pr+q=0$ pour $y''+py'+qy=0$ , et son discriminant $\Delta=p^2-4q$ décide de la forme des solutions.

En pratique

Comment utiliser ce formulaire

Un formulaire ne remplace pas le cours, il le condense. Lis chaque ligne en te demandant d'où elle vient : les développements en série entière sortent de Taylor, la variance de la définition, le rayon de la règle de d'Alembert. Une formule que tu sais reconstruire ne se perd jamais un jour de khôlle ou de DS.

Ce formulaire donne les résultats, pas leurs démonstrations. Pour le détail des preuves et des méthodes de calcul, appuie-toi sur les articles de notion liés au fil de cette page, notamment sur les intégrales et les équivalents. Et garde le réflexe de vérifier une convention (Fourier surtout) plutôt que de recopier une formule de mémoire dans le doute.

Le formulaire de maths indispensable en Spé

Séries numériques : les critères

Intégrales généralisées

Progressez en maths avec un prof particulier

Séries entières et développements usuels

Séries de Fourier

Besoin d'un accompagnement ?

Réduction des matrices

Variables aléatoires discrètes

Équations différentielles linéaires

Comment utiliser ce formulaire

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Questions fréquentes

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