Quelles formules de maths faut-il vraiment connaître par cœur en Sup ?

Le socle non négociable tient sur peu de choses : les valeurs de trigonométrie sur le premier quadrant, les formules d'addition, les dérivées et primitives usuelles, les développements limités de $e^x$, $\ln(1+x)$, $\cos$, $\sin$ et $(1+x)^\alpha$, les équivalents en 0, et $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Le reste se reconstruit à partir de là.

Faut-il apprendre les développements limités par cœur ?

Il faut savoir les restituer en quelques secondes, mais pas forcément tous les mémoriser bruts. Ceux de $\cos$ et $\sin$ se retrouvent depuis celui de $e^x$ et l'exponentielle complexe, et celui de $\ln(1-x)$ depuis $\ln(1+x)$ en changeant $x$ en $-x$. Le noyau à connaître vraiment, ce sont $e^x$, $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$.

Quelle est l'erreur la plus fréquente avec les équivalents ?

Sommer deux équivalents et confondre un équivalent avec un développement limité. Un équivalent ne garde que le terme dominant, donc $\cos x - 1$ n'est pas équivalent à $0$ mais à $-x^2/2$. Dès qu'une somme ou une différence apparaît, on repasse au développement limité au bon ordre avant de conclure.

Comment mémoriser un formulaire de maths efficacement ?

En le refaisant de mémoire sur une feuille blanche, pas en le relisant. Une séance de quinze minutes par semaine où tu réécris les dérivées, primitives et DL sans regarder, puis tu corriges, ancre les formules bien mieux qu'une relecture passive. Les cartes recto-verso testées en aveugle marchent pour la même raison.

Formulaire de maths Sup à connaître par cœur (MPSI, PCSI, PTSI)

Au tableau de khôlle, on ne te demande pas de « connaître » la dérivée de $\arctan$ . On te demande de l'écrire en trois secondes, sous stress, sans hésiter sur le signe. Le formulaire de maths à connaître par cœur en Sup, c'est exactement ce petit stock de réflexes : trigonométrie, dérivées, primitives, développements limités, équivalents et exponentielle complexe. Cette page les réunit, chacun écrit exactement, signes vérifiés.

Toutes ces formules sont au programme de MPSI, PCSI et PTSI. Certaines se mémorisent, d'autres se reconstruisent à partir de deux ou trois briques. On commence justement par là, parce que le vrai socle est plus petit qu'il n'en a l'air. Une fois la deuxième année entamée, ce formulaire devient le socle sur lequel se pose le formulaire de Spé.

Avant de tout apprendre

Le vrai socle à mémoriser

Vouloir tout retenir brut est le meilleur moyen de tout mélanger. Sépare deux tas. Les formules du premier se mémorisent une bonne fois, celles du second se retrouvent en dix secondes à partir des premières. Le tas à mémoriser est court : les valeurs de trigonométrie du premier quadrant, les formules d'addition, les dérivées et primitives usuelles, les DL de $e^x$ , $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$ , et la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ .

Ce qui se reconstruit	À partir de
Duplication ( $\cos 2a$ , $\sin 2a$ )	les formules d'addition avec $b = a$
DL de $\cos$ et $\sin$	DL de $e^x$ et exponentielle complexe
DL de $\ln(1-x)$ et $\dfrac{1}{1-x}$	$\ln(1+x)$ et $\dfrac{1}{1+x}$ en changeant $x$ en $-x$
La plupart des équivalents en 0	le premier terme du DL correspondant

Section 1

Trigonométrie

Tout part du cercle et des valeurs remarquables. Retiens le premier quadrant, le reste se déduit par symétrie. Le détail des symétries et la lecture du cercle sont traités dans trigonométrie : le cercle et les formules.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt 3}{2}$	$\dfrac{\sqrt 2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt 2}{2}$	$\dfrac{\sqrt 3}{2}$	$1$
$\tan x$	$0$	$\dfrac{\sqrt 3}{3}$	$1$	$\sqrt 3$	non défini

Les deux relations de base valent partout où elles ont un sens :

\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

Formules d'addition. Ce sont les seules à mémoriser vraiment, tout le reste en découle :

\cos(a+b) = \cos a\,\cos b - \sin a\,\sin b

\sin(a+b) = \sin a\,\cos b + \cos a\,\sin b

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\,\tan b}

On change $b$ en $-b$ pour les différences. En posant $b = a$ , on obtient la duplication :

\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

\sin 2a = 2\sin a\,\cos a \qquad \tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}

Les deux dernières écritures de $\cos 2a$ donnent la linéarisation, très utile pour intégrer $\cos^2$ et $\sin^2$ :

\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}

Enfin, les transformations somme vers produit, où le signe moins de la deuxième ligne se rate souvent :

\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}

\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}

\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}

Section 2

Dérivées usuelles

Le catalogue à restituer sans réfléchir. Le piège classique reste le signe moins de $\cos$ et de $\arccos$ . Pour retrouver ces formules depuis le taux d'accroissement, va voir dérivée et dérivation.

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$x^\alpha$	$\alpha\,x^{\alpha-1}$	$\sin x$	$\cos x$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\cos x$	$-\sin x$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\tan x$	$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
$e^x$	$e^x$	$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\ln\|x\|$	$\dfrac{1}{x}$	$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$a^x$	$a^x \ln a$	$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{ch} x$	$\operatorname{sh} x$	$\operatorname{sh} x$	$\operatorname{ch} x$

Les trois règles de combinaison, avec $u$ et $v$ dérivables :

(uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \qquad \bigl(v \circ u\bigr)' = u' \cdot v'(u)

Section 3

Primitives usuelles

Ce sont les dérivées lues à l'envers, à la constante d'intégration près. Deux signes moins piègent : la primitive de $\sin$ et celle de $\tan$ . Les techniques de calcul sont détaillées dans calcul intégral, primitives et aire.

$f(x)$	Une primitive	$f(x)$	Une primitive
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$\tan x$	$-\ln\|\cos x\|$
$e^x$	$e^x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x$
$\cos x$	$\sin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$
$\sin x$	$-\cos x$	$\dfrac{1}{x^2+a^2}$	$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}$

Section 4

Développements limités en 0

Le cœur du calcul asymptotique de Sup. Ils s'écrivent tous en $0$ , à l'ordre voulu. Mémorise $e^x$ , $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$ , les autres se retrouvent depuis eux.

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o(x^n)

(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + o(x^3)

\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)

\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)

\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{5x^3}{16} + o(x^3)

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})

\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5)

Le réflexe qui fait gagner du temps. $\cos$ et $\sin$ sont les parties réelle et imaginaire de $e^{ix}$ . Écris le DL de $e^{ix}$ , sépare le réel et l'imaginaire, tu récupères les deux d'un coup sans rien réapprendre. De même, $\ln(1-x)$ et $\operatorname{ch}$ , $\operatorname{sh}$ se déduisent de $\ln(1+x)$ et de $e^x$ en changeant un signe.

Section 5

Équivalents en 0

Un équivalent ne garde que le terme dominant. Il se lit directement sur le premier terme du DL. Ici $x \to 0$ dans toutes les lignes.

\sin x \sim x \qquad \tan x \sim x \qquad \arcsin x \sim x \qquad \arctan x \sim x

1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \qquad \ln(1+x) \sim x \qquad e^x - 1 \sim x

(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \qquad \operatorname{sh} x \sim x \qquad \operatorname{th} x \sim x

Le piège numéro un aux concours. On ne somme jamais deux équivalents. $\cos x - 1$ n'est pas équivalent à $x - x$ , sinon on trouverait $0$ , ce qui est faux : c'est $-x^2/2$ . Dès qu'une somme ou une différence apparaît, repasse au développement limité au bon ordre avant de conclure. La plupart des points perdus sur les limites viennent de là, pas d'une formule mal apprise.

Section 6

Identités et sommes

Les identités remarquables de collège montent d'un cran avec le cube, la factorisation $a^n - b^n$ et le binôme de Newton. Le lien avec les démonstrations est fait dans identités remarquables et démonstrations.

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \qquad a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

a^n - b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}\,b^{k}

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}\,b^{k} \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Les sommes usuelles, à ressortir dans presque tout exercice de suites ou de dénombrement :

\sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1) \qquad \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}

Section 7

Exponentielle complexe

La formule d'Euler relie complexes et trigonométrie. C'est elle qui te permet de reconstruire la duplication, les DL de $\cos$ et $\sin$ , et de linéariser une puissance de cosinus.

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad |e^{i\theta}| = 1 \qquad e^{i\pi} + 1 = 0

\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

La formule de Moivre et le module d'un complexe :

\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \qquad z\,\bar z = |z|^2

En pratique

Comment l'apprendre

Relire ce formulaire ne sert presque à rien. La seule chose qui l'ancre, c'est de le refaire de mémoire. Prends une feuille blanche une fois par semaine, réécris les dérivées, primitives et DL sans regarder, puis corrige. Ce qui coince ressort tout de suite, et c'est exactement ce sur quoi tu passeras cinq minutes de plus la semaine suivante.

15 min

par semaine, feuille blanche

Réécrire de mémoire, puis corriger.

3 s

c'est le vrai objectif

Restituer sans hésiter, pas reconnaître.

2 tas

mémoriser ou reconstruire

Le socle brut reste court.

Les cartes recto-verso testées en aveugle marchent pour la même raison : elles forcent la restitution active. Si tu veux les coupler aux démonstrations à savoir refaire, va voir les flashcards de démonstrations en maths.

Le formulaire de maths à connaître par cœur en Sup

Le vrai socle à mémoriser

Trigonométrie

Dérivées usuelles

Progressez en maths avec un prof particulier

Primitives usuelles

Développements limités en 0

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Équivalents en 0

Identités et sommes

Exponentielle complexe

Comment l'apprendre

Articles connexes

Dérivée : formules, calcul et exercices corrigés

Calcul intégral : primitives, aire et exercices corrigés

Trigonométrie : cercle, formules et exercices corrigés

Questions fréquentes

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