Annales sur Espaces euclidiens et théorème spectral

Espaces euclidiens et théorème spectral

Au programme

Les espaces préhilbertiens et euclidiens en spé couvrent le produit scalaire, la norme euclidienne, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, l'orthogonalité, les projections orthogonales, l'inégalité de Bessel et le théorème spectral pour les endomorphismes symétriques (ou matrices symétriques réelles). Démonstration exigible aux écrits comme aux oraux : théorème spectral en dimension finie. Programme commun MP, PC, PSI, MPI.

Pourquoi c'est testé

73 sujets de concours dans notre base portent sur les espaces euclidiens et le théorème spectral. C'est un cœur des épreuves Maths CCINP PSI (qui revient quasiment chaque année sur le sujet) et Mines-Ponts MP. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• « Théorème spectrale » écrit au féminin dans une copie sur deux (jury Maths 2 Mines-Ponts MP 2018 : « Mentionnons que nous avons lu dans plus de la moitié des copies l'expression " théorème spectrale "... Il leur permettrait sans doute de se rendre compte qu'il est nécessaire de diagonaliser A dans une base orthonormée, autrement dit avec une matrice de passage orthogonale »)
• Matrice définie positive ≠ matrice à coefficients positifs (jury Maths CCINP PSI 2025 : « Beaucoup pensent qu'une matrice définie positive est une matrice à coefficients > 0. Erreur classique »)
• Inégalités sur des fonctions complexes sans passer aux modules (jury Maths CCINP PSI 2017 : « les fonctions considérées étaient à valeurs complexes et une partie très importante des candidats a écrit des inégalités impliquant ces fonctions sans considérer leurs modules, ce qui n'a évidemment pas de sens »)
• Théorème spectral cité sans base orthonormée (jury Maths 2 Mines-Ponts MP 2015 : « Il était essentiel de mentionner le fait qu'une telle matrice est diagonalisable dans une base orthonormée »)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Énoncer le théorème spectral correctement : matrice symétrique réelle ⇒ diagonalisable dans une base orthonormée, valeurs propres réelles. 2. Distinguer trois notions souvent confondues : symétrique, définie positive, à coefficients positifs. 3. Travailler les sujets de référence : Maths CCINP PSI 2017 et 2025, Maths 2 Mines-Ponts MP 2015 et 2018.