Annales sur Convexité

Convexité

Au programme

La convexité en spé couvre les fonctions convexes d'une variable réelle (définition par les cordes, croissance des taux d'accroissement), les inégalités de convexité (Jensen, Hölder, Minkowski), la caractérisation par la dérivée seconde quand elle existe, et les ensembles convexes (combinaisons, projection sur un convexe fermé en espace euclidien). Abordée en MP et MPI principalement, dans le bloc d'analyse.

Pourquoi c'est testé

12 sujets de concours dans notre base touchent à la convexité, entre 2016 et 2025, chez Mines-Ponts et X-ENS. Les pièges spécifiquement « convexité » que nous avons isolés dans les rapports de jury restent limités ; les sujets enchaînent typiquement :

• caractérisation d'une fonction convexe via la dérivée seconde positive ;
• application aux inégalités classiques (moyennes, Cauchy-Schwarz par convexité) ;
• problèmes d'optimisation en lien avec la projection sur un convexe fermé.

Comment réviser

Trois axes :

1. Trois caractérisations équivalentes : par les cordes, par la croissance des taux d'accroissement, par la dérivée seconde — savoir passer de l'une à l'autre. 2. Inégalités de convexité usuelles : Jensen pour une combinaison convexe, Hölder, Minkowski. 3. Travailler les sujets : Maths X-ENS PSI 2025 (α-convexité et optimisation), Maths 1 Mines-Ponts PSI 2017 (matrices stochastiques).