Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Épreuve dans le contexte exceptionnel de la pandémie Covid-19. Trois parties autour d'un type d'approximation de fonctions à plusieurs variables, sur la concavité, la semi-concavité et les notions de borne inférieure et supérieure. Notions : dérivées partielles, gradient, fonctions C^1, lipschitziennes, convergence uniforme, suites bornées et extraites (Bolzano-Weierstrass), projection sur convexe fermé.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Approximations et bornes(Q1-Q11)Niveau attendu
Bien abordée par presque tous les candidats. Beaucoup d'imprécisions sur le maniement des bornes inférieures et sur les inégalités avec valeur absolue. Erreurs sur x<y implique |x|<|y| (faux). Q4 erreurs presque systématiques (passage trop rapide au sup/inf sans justification).
- Partie II — Partie II — Fonctions lipschitziennes et convergence uniforme(Q12-Q18)Difficile
Début bien traité (Q12-Q15). Q15(a) peu réussi. Q15(e) confusion entre lipschitzienne sur tout R^n et lipschitzienne sur tout pavé. Q16 souvent mal comprise. Q18 circularité (utiliser Bolzano-Weierstrass alors qu'on demande de le démontrer).
- Partie III — Partie III — Projection sur convexe fermé(Q19-Q25)Très difficile
Peu de candidats ont abordé cette partie de l'énoncé.
Analyse globale du jury
« L'énoncé est clair et bien détaillé. Le niveau de difficulté des questions est assez variable. Les premières questions de l'énoncé sont abordables et ont permis à la quasi-totalité des candidats d'entamer progressivement le sujet. Par ailleurs, l'énoncé est long et peu de candidats ont pu aborder la troisième partie. On peut néanmoins affirmer qu'en fine le sujet a répondu très favorablement aux exigences de sélection et de classement en produisant un écart type raisonnable et en distinguant les rares copies exceptionnellement réussies. Rappelons que les épreuves orales d'admission aux Écoles Normales Supérieures sont annulées en raison de la crise de la Covid-19. »
Top pièges sanctionnés
Inégalité fausse : x < y implique |x| < |y|-2 pts
« Beaucoup de fautes ont été commises avec utilisation implicite du raisonnement faux : x < y implique |x| < |y|. »
Passage trop rapide au sup/inf sans justification-2 pts
« Beaucoup de candidats passent trop rapidement au supremum (ou infimum) dans les inégalités, souvent sans justification. Le raisonnement avec un élément générique est peu maîtrisé. Par ailleurs, de nombreux candidats pensent qu'une borne supérieure (ou inférieure) est toujours atteinte. »
Confusion fonctions lipschitziennes sur tout R^n vs sur tout pavé-1 pts
« Dans la question 15(e), on constate une confusion fréquente entre les fonctions lipschitziennes sur tout R^n et les fonctions lipschitziennes sur tout pavé. »
Circularité dans la preuve (utiliser Bolzano-Weierstrass pour démontrer Bolzano-Weierstrass)-3 pts
« Dans la question 18, de nombreux candidats qui connaissaient a priori le résultat démontré (théorème de Bolzano-Weierstrass), utilisent ce dernier pour répondre à la question 18(c) (ignorant de facto que le but de la question 18 est de démontrer ce résultat). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2020 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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