Top piège du sujet
Inégalité fausse : x < y implique |x| < |y|
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Épreuve dans le contexte exceptionnel de la pandémie Covid-19. Trois parties autour d'un type d'approximation de fonctions à plusieurs variables, sur la concavité, la semi-concavité et les notions de borne inférieure et supérieure. Notions : dérivées partielles, gradient, fonctions C^1, lipschitziennes, convergence uniforme, suites bornées et extraites (Bolzano-Weierstrass), projection sur convexe fermé.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Approximations et bornes(Q1-Q11)Niveau attendu
Bien abordée par presque tous les candidats. Beaucoup d'imprécisions sur le maniement des bornes inférieures et sur les inégalités avec valeur absolue. Erreurs sur x<y implique |x|<|y| (faux). Q4 erreurs presque systématiques (passage trop rapide au sup/inf sans justification).
- Partie II — Partie II, Fonctions lipschitziennes et convergence uniforme(Q12-Q18)Difficile
Début bien traité (Q12-Q15). Q15(a) peu réussi. Q15(e) confusion entre lipschitzienne sur tout R^n et lipschitzienne sur tout pavé. Q16 souvent mal comprise. Q18 circularité (utiliser Bolzano-Weierstrass alors qu'on demande de le démontrer).
- Partie III — Partie III, Projection sur convexe fermé(Q19-Q25)Très difficile
Peu de candidats ont abordé cette partie de l'énoncé.
Analyse globale du jury
« L'énoncé est clair et bien détaillé. Le niveau de difficulté des questions est assez variable. Les premières questions de l'énoncé sont abordables et ont permis à la quasi-totalité des candidats d'entamer progressivement le sujet. Par ailleurs, l'énoncé est long et peu de candidats ont pu aborder la troisième partie. On peut néanmoins affirmer qu'en fine le sujet a répondu très favorablement aux exigences de sélection et de classement en produisant un écart type raisonnable et en distinguant les rares copies exceptionnellement réussies. Rappelons que les épreuves orales d'admission aux Écoles Normales Supérieures sont annulées en raison de la crise de la Covid-19. »
Top pièges sanctionnés
Inégalité fausse : x < y implique |x| < |y|-2 pts
« Beaucoup de fautes ont été commises avec utilisation implicite du raisonnement faux : x < y implique |x| < |y|. »
Passage trop rapide au sup/inf sans justification-2 pts
« Beaucoup de candidats passent trop rapidement au supremum (ou infimum) dans les inégalités, souvent sans justification. Le raisonnement avec un élément générique est peu maîtrisé. Par ailleurs, de nombreux candidats pensent qu'une borne supérieure (ou inférieure) est toujours atteinte. »
Confusion fonctions lipschitziennes sur tout R^n vs sur tout pavé-1 pts
« Dans la question 15(e), on constate une confusion fréquente entre les fonctions lipschitziennes sur tout R^n et les fonctions lipschitziennes sur tout pavé. »
Circularité dans la preuve (utiliser Bolzano-Weierstrass pour démontrer Bolzano-Weierstrass)-3 pts
« Dans la question 18, de nombreux candidats qui connaissaient a priori le résultat démontré (théorème de Bolzano-Weierstrass), utilisent ce dernier pour répondre à la question 18(c) (ignorant de facto que le but de la question 18 est de démontrer ce résultat). »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2020 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths X-ENS PSI 2020 (sigle XUCR à l'époque) s'est déroulée le lundi 20 avril 2020 dans le contexte exceptionnel de la pandémie de Covid-19. Durée 4 heures, coefficient 10. Sujet sur les fonctions à plusieurs variables et la convexité.
Trois parties : approximations et bornes (Partie I), fonctions lipschitziennes et convergence uniforme (Partie II), projection sur convexe fermé (Partie III, peu abordée). Notions transverses : dérivées partielles, gradient, suites extraites, Bolzano-Weierstrass.
Conséquence Covid-19 majeure : les épreuves orales d'admission aux ENS ont été annulées cette session. L'admission a donc dépendu plus fortement de la performance écrite. Polytechnique a maintenu ses oraux.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet long et progressif. Partie I accessible à la quasi-totalité, Partie II difficile, Partie III peu abordée. Stratégie : réussir Partie I avec rigueur sur les bornes et inégalités, viser début de Partie II.
Gestion des 4h : 20 min lecture, 1h30 sur Partie I (Q1-Q11, soigner les bornes et inégalités), 1h30 sur Partie II (Q12-Q18, attention au piège Q18, ne pas utiliser Bolzano-Weierstrass pour le démontrer), 30 min sur Partie III (Q19-Q22 si possible), 10 min relecture. La Partie III est en grande partie sacrifiable.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Inégalités avec valeur absolue : raisonner avec un élément générique : pas de raccourci x < y => |x| < |y| (faux).
- Borne inférieure/supérieure n'est pas toujours atteinte : distinguer sup/max et inf/min, justifier le passage à la borne.
- Lipschitzienne sur tout R^n vs sur tout pavé : ne pas confondre. Hypothèses différentes selon le contexte.
- Pas de circularité dans les démonstrations : Q18 piégeait précisément l'utilisation circulaire de Bolzano-Weierstrass.
- Détailler les questions difficiles, ne pas seulement les triviales : le jury sanctionne les copies qui survolent les questions techniques.
Ressources
Téléchargements
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