Annales sur Séries numériques

Séries numériques

Au programme

Les séries numériques en spé couvrent les critères de convergence (comparaison, d'Alembert, Cauchy, série alternée), l'absolue convergence, les séries de Riemann et géométriques, le regroupement et la sommation par paquets. Bloc commun MP/PC/PSI/MPI, prolongement des séries vues en première année. Les séries de fonctions et entières font l'objet de chapitres distincts.

Pourquoi c'est testé

25 sujets de concours dans notre base touchent aux séries numériques, entre 2015 et 2025. Mines-Ponts, Centrale-Supélec et X-ENS y reviennent régulièrement. Pièges récurrents :

• Majoration sans valeur absolue pour invoquer l'absolue convergence (jury Mines-Ponts PSI 2015 : « il y a eu des majorations du terme général sans valeur absolue ainsi que des majorations de la somme de la série (dont on cherche à montrer l'existence)… Cette question fait apparaître pour beaucoup de candidats une méconnaissance manifeste des techniques de base du cours sur les séries »)
• Majorer par une quantité dépendant de n au lieu d'une borne indépendante (jury Mines-Ponts PSI 2015 : « Il n'est souvent pas tenu compte du terme (n−1)!/λ^n pour borner f avec (3) ou (4). On rappelle que l'on doit majorer par une quantité indépendant de n »)
• Critère de d'Alembert appliqué mécaniquement sans soigner la simplification (cf. Mines-Ponts PSI 2019).

Comment réviser

Trois axes :

1. Critères de convergence avec leurs hypothèses exactes — d'Alembert (limite stricte < 1), Cauchy, comparaison terme à terme positive. 2. Pratiquer le calcul d'équivalents (Stirling, DL) et les majorations indépendantes de n. 3. Travailler les sujets : Maths 1 Mines-Ponts PSI 2015, Maths 1 Mines-Ponts PSI 2019, Maths 2 Mines-Ponts MP 2020.