Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration d'un cas particulier des lois stables de Paul Lévy : pour une suite (Xn) de variables aléatoires entières i.i.d. symétriques satisfaisant une condition de dispersion d'ordre α, on étudie la moyenne empirique Mn = Sn/n et on montre par calcul de la fonction caractéristique que (Mn) converge en loi vers une loi de Cauchy de paramètre α.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Questions probabilistes proches du cours(Q1-Q5)Niveau attendu
Définition de l'espérance (convergence absolue), variables bornées vs à valeurs finies, transfert en loi, indépendance et symétrie. Beaucoup d'erreurs : oubli de la convergence absolue, confusion entre 'X bornée' et 'X ne prend qu'un nombre fini de valeurs',…
- Partie II — Q6-Q13 — Calcul de la série de Taylor du logarithme principal(Q6-Q13)Difficile
Cœur calculatoire : régularité d'une intégrale fonction de sa borne supérieure, inégalité triangulaire complexe, théorème de convergence dominée pour Q8, formule de Taylor avec reste intégral, intégrales à paramètre C¹.…
- Partie III — Q14-Q18 — Fonctions caractéristiques et sommation d'Abel(Q14-Q18)Très difficile
Généralités sur les fonctions caractéristiques (Q14-Q15), continuité par convergence normale, et cœur de l'argument (Q16) : sommation d'Abel pour exprimer ΦX(t) en fonction des restes Rn = P(|X| ≥ n). Ces questions, plus difficiles, ne sont abordées que par une minorité de candidats.
- Partie IV — Q19-Q22 — Conclusion vers les lois stables(Q19-Q22)Très difficile
Conclusion : convergence en loi de (Mn) vers une loi de Cauchy. Partiellement abordées par les meilleurs candidats, sinon objet de grappillages aux justifications très insuffisantes.
Analyse globale du jury
« Sujet nécessitant une solide maîtrise des probabilités et de l'analyse (intégration, convergence dominée, intégrales à paramètre, séries, séries de fonctions, topologie). Permet de vérifier la connaissance de plusieurs théorèmes importants du cours et la capacité à mener rapidement des calculs non triviaux. De bon niveau, le texte restait cependant abordable avec un nombre important de questions de difficulté moyenne. Étalonnement très satisfaisant des copies. À l'inverse, un lot important de copies témoigne d'un manque de recul sur le cours et de faibles capacités calculatoires : graves confusions, écritures absurdes P(X), P(X()), inégalités portant sur les nombres complexes. »
Top pièges sanctionnés
Définition de l'espérance — oubli de la convergence absolue (Q1)-1 pts
« Beaucoup de candidats oublient que, pour définir l'espérance, une condition de convergence absolue est nécessaire. »
Confusion 'X bornée' vs 'X ne prend qu'un nombre fini de valeurs' (Q2)-1 pts
« Beaucoup d'erreurs dans cette question très proche du cours. En particulier, confusion fréquente entre « X est bornée » et « X ne prend qu'un nombre fini de valeurs », parfois parce que X est implicitement supposée à valeurs entières. »
Égalité en loi confondue avec égalité (Q4)-2 pts
« Beaucoup de candidats confondent égalité en loi et égalité, ce qui les conduit à écrire des relations du genre f(X) = f(-X) = -f(X). »
Inégalités entre nombres complexes (Q7, Q11)-2 pts
« Beaucoup de candidats écrivent des inégalités entre nombres complexes. »
Logarithme complexe hors programme (Q6)-1 pts
« Certains candidats compliquent les choses en se ramenant à une intégrale à paramètre et donnent un résultat (pas toujours juste) sous forme intégrale. D'autres utilisent, de manière purement formelle, un logarithme complexe hors programme. »
Théorème de convergence dominée mal justifié (Q8)-2 pts
« Bon nombre de candidats voient qu'il s'agit de permuter une limite et une intégrale. En revanche, les justifications (majoration directe, convergence uniforme ou dominée) ne sont complètes que dans peu de copies. »
Présentation et numérisation — encre claire et ratures pénalisées-1 pts
« Les copies peu lisibles sont pénalisées ; on recommande aux candidats d'employer une encre foncée, qui reste bien visible sur les copies scannées. Une présentation soignée (écriture nette, absence de ratures, résultats encadrés) est très appréciée. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
