Annales sur Probabilités discrètes

Probabilités discrètes

Au programme

Les probabilités discrètes en spé étendent la sup à des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable : espérance, variance, lois usuelles (Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson), indépendance, fonctions génératrices (MP), loi faible des grands nombres. C'est l'un des blocs les plus renforcés par le BO 2021 (filières MP, PC, PSI), passé d'optionnel à central.

Pourquoi c'est testé

77 sujets de concours dans notre base mobilisent les probabilités discrètes. Les épreuves Maths 1 Mines-Ponts PSI ont fait des probabilités leur ADN sur la décennie. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• Citer l'indépendance sans la prouver (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2015 : « l'indépendance est souvent citée rarement prouvée »)
• Espérance et variance — propriétés inventées (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2019 : « un produit de variables aléatoires admettant une espérance, admet une espérance, la linéarité de l'espérance donne que l'espérance d'un produit est le produit des espérances. L'espérance d'une constante est nulle. Bien sûr, tous ces arguments sont incorrects »)
• Théorème de transfert appliqué sans vérifier l'existence de E(f(X)) (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2019 : « Chez bon nombre de candidats, le théorème de transfert donne systématiquement l'existence de l'espérance de f(X) lorsque X admet une espérance, ce qui est bien sûr inexact »)
• Définition d'espérance finie inconnue (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2021 : « On attend ici la définition : X est d'espérance finie si et seulement si la série de terme général xn P(X = xn) est absolument convergente »)
• Probabilités négatives ou supérieures à 1 laissées en copie (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2016 : « attention à ne pas laisser des probabilités négatives ou plus grandes que 1 »)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Prouver l'indépendance plutôt que la citer : revenir à la définition par les événements ou utiliser le lemme des coalitions. 2. Vérifier l'existence de l'espérance (convergence absolue de la série) avant d'invoquer transfert, linéarité ou variance. 3. Travailler la série Maths 1 Mines-Ponts PSI : 2015, 2016, 2019, 2021 — épreuves de référence en probabilités discrètes.