Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Définition d'un opérateur de dérivation fractionnaire D^alpha pour alpha réel quelconque, interpolant les D^n entiers. Applications en mécanique des fluides (dérivée d'ordre 1/2) et viscoélasticité. Quatre parties : Préliminaires (Fubini sur triangle, convolution, Laplace), Intégration fractionnaire (opérateur à noyau), Dérivées fractionnaires (Riemann-Liouville puis Caputo), Deux équations différentielles fractionnaires.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaires — Fubini, convolution, Laplace(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 fonction Gamma, imprécisions sur convergence (l'intégrande n'est pas prolongeable en 0 par continuité). Q2 Fubini sur triangle, dérivation sous l'intégrale rarement bien justifiée. Q5 Weierstrass pour injectivité de Laplace, majorations souvent fausses.
- Partie II — A — Intégration fractionnaire(Q6-Q8)Niveau attendu
Opérateur à noyau introduit par récurrence. Q7 formule D(Phi_alpha) = Phi_{alpha-1} rarement donnée. Q8 questions relativement faciles plutôt bien réussies.
- Partie III — B — Dérivées fractionnaires (Riemann-Liouville, Caputo)(Q9-Q12)Difficile
Q9 Taylor reste intégral souvent reconnu. Q10 D^alpha appliqué à constante non nul, très mal traitée. Q11 composition mauvaise, bonnes réponses très rares. Q12 Caputo très peu abordée.
- Partie IV — C — Deux équations différentielles fractionnaires(Q13-Q15)Très difficile
Équation d'Abel, équation différentielle. Q13 et Q14 abordées par proportion importante. Dernières questions non abordées vu la longueur du sujet.
Analyse globale du jury
« Le sujet traite de la question de savoir définir un opérateur de dérivation fractionnaire interpolant les D^n entiers avec des relations de composition raisonnables. L'intérêt n'est pas seulement théorique mais trouve des applications en mécanique des fluides où la dérivée d'ordre 1/2 apparaît naturellement ou en viscoélasticité des gommes. Riemann, Liouville et Caputo ont proposé des approches de ce problème en partant de l'idée d'exprimer D^-n comme un opérateur avec un noyau. »
Top pièges sanctionnés
Imprécisions sur la convergence de la fonction Gamma-1 pts
« Sa définition en a) puis son équation fonctionnelle en b). Malgré leur caractère élémentaire et classique, le jury a noté des imprécisions dans de trop nombreuses copies. »
Dérivation sous le signe intégrale mal justifiée-2 pts
« La dérivation sous le signe intégrale a trop rarement été bien justifiée. »
Optimisation inutile de majorations (Q4-c)-1 pts
« Les candidats se sont alors souvent perdus dans des sous-cas multiples et complètement inutiles sans se rendre compte qu'il ne s'agissait pas d'optimiser une majoration mais seulement de montrer une convergence simple. »
D^alpha sur constante non nul (Q10-b)-2 pts
« On demande ensuite en b) de constater que D^alpha appliqué à une fonction constante n'est pas nulle sauf dans le cas classique où alpha est entier. Cette question, ouverte, a été très mal traitée. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths PSI, session 2021 · PDF officiel ↗
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