Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet de longueur modérée, entièrement traité par plusieurs candidats. Questions sur l'analyse des intégrales (intégrales généralisées, IPP, changement de variable). Partie IV transformée de Fourier d'une gaussienne. Q5, Q10-Q11, Q22 moins traitées. Compte tenu de la brièveté, le jury s'étonne de la mauvaise qualité générale de rédaction et présentation. Sanctions sur abréviations sans définition, ⇒/⇔ utilisés à mauvais escient, mentions « f(x) est continue ».
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Moments classiques (exponentielle, gaussienne)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 intégrabilité ne pas reprouver, valeur de l'intégrale oui ; x→x^n g(x) intégrable sur [0,+∞[. Q2 négligeabilité de x^n φ(x) devant 1/x² parachutée — justifier par croissances comparées ; intégrale sur R, pas R+. Q3 « intégrale convergente d'une fonction impaire est nulle » pas du cours —…
- Partie II — Q6-Q9 — Bernstein polynomial setup(Q6-Q9)Niveau attendu
Q6 quasi-totalité. Q7 ne pas écrire (k−1)! pour k=0. Q8 k²=k(k−1)+k. Q9 nx(1−x), constante optimale C=1/4 à justifier.
- Partie III — Q10-Q14 — Théorème de Weierstrass(Q10-Q14)Difficile
Q10 Q6 pour décomposer Bn(x)−f(x) ; bluff malhonnête. Q11 délicate via Q9. Q12 linéarité de l'intégrale ; « propriété vraie pour X^n donc pour tous les polynômes ! » (faux). Q13 théorème d'intégration terme à terme : démontrer la convergence uniforme de ((f−g)P_n), pas seulement (P_n). Q14…
- Partie IV — Q15-Q22 — Transformée de Fourier d'une gaussienne(Q15-Q22)Très difficile
Q15 continuité de φ̂ via intégrale à paramètre ; dominante φ continue par morceaux, positive, intégrable. Q16 dérivabilité, dériver par rapport à ξ (pas t) ; domination réelle positive. Q17 IPP ; module du crochet → 0. Q18 résolution EDO ; constante a priori complexe indépendante de ξ. Q19…
Analyse globale du jury
« Le sujet portait sur le classique problème des moments pour une densité de probabilité. Cette année encore, le jury a eu à déplorer de nombreuses lacunes dues à un manque de rigueur des candidats : manque d'interrogation systématique de l'existence des objets ; hypothèses du changement de variable ou IPP absentes ou partielles ; théorèmes de régularité des intégrales à paramètre connus approximativement ; plus d'un tiers affirme « 1/x² intégrable sur R » ; erreurs systématiques sur les manipulations d'inégalités. Beaucoup d'usages d'acronymes incompréhensibles (« d'après le TICL »), notations hors-programme (C-difféomorphisme), citations ambiguës (« petite formule », « formule du capitaine », « théorème aux 4 hypothèses »). Confusion fonction/expression (« g(x) est continue »). »
Top pièges sanctionnés
Affirmer « 1/x² est intégrable sur R »-2 pts
« Plus d'un tiers des candidats affirme sans sourciller que ≪1/x² est intégrable sur R≫. »
Q3 : invoquer « l'intégrale convergente d'une fonction impaire est nulle » comme du cours-1 pts
« Question 3. « L'intégrale convergente d'une fonction impaire sur un intervalle centré est nulle » n'est pas du cours. Il faut donc le démontrer et il est pertinent de procéder à un changement de variable. »
Q12 : « la propriété est vraie pour tout monôme X^n, donc pour tous les polynômes »-2 pts
« On trouve de grossières erreurs de logique : « La propriété est vraie pour tout monôme X^n, or X^n est un polynôme, donc la propriété est vérifiée pour tous les polynômes ! » »
Q13 : appliquer le théorème de convergence uniforme à (P_n) au lieu de ((f−g)P_n)-2 pts
« Mais il faut alors démontrer la convergence uniforme de la suite ((f − g)P_n) et ne pas se contenter de celle de (P_n). Beaucoup de candidats vérifient des hypothèses sur une suite de fonctions et appliquent le résultat à une autre. »
Citer des « petite formule », « formule du capitaine », « théorème aux 4 hypothèses »-1 pts
« On trouve trop souvent des noms ambigus sans énoncé clair, comme « petite formule », « formule du capitaine » (propriétés des coefficients binomiaux), « théorème aux 4 hypothèses » (théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre), « théorème des 3 conditions ». »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2019 · PDF officiel ↗
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