Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Problème très long mêlant algèbre linéaire, réduction et algèbre euclidienne. Le niveau conceptuel est élevé. La présence de nombreuses questions proches du cours a permis une bonne évaluation. Les résultats, théorèmes et techniques du programme ne sont pas toujours maîtrisés ; on ne saurait trop insister sur l'intérêt primordial de travailler le cours. Manque de rigueur (particulièrement en algèbre) et de soin dans la présentation.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — N_B (sev des matrices triangulaires strictes), formes linéaires(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 variantes possibles, assez correcte. Q2 N_B sev + dimension via isomorphisme avec matrices triangulaires supérieures strictes ; nilpotent + indice = n. Q3 liberté 1ère famille OK ; 2ème nettement plus difficile, concaténation pas libre en général. Q4 inégalité via Q3, 2ème point délicat. Q5…
- Partie II — Q6-Q10 — Bijection, formule du binôme inapplicable(Q6-Q10)Difficile
Q6 confusion entre objets abstraits ; bijectivité rare. Q7 initiative (BON ou base adaptée) ; 1/4 des candidats. Q8 formule du binôme NE S'APPLIQUE PAS — sanction systématique. Q9 V est sev ; somme de nilpotents pas nilpotente en général. Q10 réponses incomplètes, formule du binôme à nouveau ;…
- Partie III — Q11-Q14 — Abstraction et théorème du rang (deux fois)(Q11-Q14)Difficile
Q11 grand degré d'abstraction. Q12 s'approprier les notations. Q13 confusion sur la définition des espaces. Q14 appliquer deux fois le théorème du rang — petite partie des candidats.
- Partie IV — Q15+ — Synthèse rare(Q15+)Très difficile
Suite rarement abordée, sauf début Q17 (argument de valeur propre parfois trouvé).
Analyse globale du jury
« Le sujet propose la preuve du théorème suivant : Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n. Soit V un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des endomorphismes de E. On suppose que tous les éléments de V sont nilpotents et que V est de dimension n(n−1)/2. Alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de tous les endomorphismes de V est triangulaire supérieure stricte. Ce problème, très long, mêle algèbre linéaire, réduction et algèbre euclidienne (afin d'éviter la dualité). Le niveau conceptuel de l'épreuve est élevé. La présence de nombreuses questions proches du cours a cependant permis une bonne évaluation des candidats. Les résultats, théorèmes et techniques du programme ne sont pas toujours maîtrisés ; on ne saurait trop insister sur l'intérêt primordial… »
Top pièges sanctionnés
Q3 : « les vecteurs sont tous non nuls donc la famille est libre »-2 pts
« On voit des arguments du type : les vecteurs sont tous non nuls donc la famille est libre, les vecteurs sont positifs et la somme est nulle donc ils sont tous nuls... »
Q5 : « en dim finie une application injective est bijective »-2 pts
« Pour la dimension de L(E,R), nous avons eu des résultats folkloriques : (n−1), n(n−1)/2, n(1−n)... Le théorème du rang est même souvent invoqué. Pour montrer l'isomorphisme, il faut montrer que l'application est linéaire par rapport à la bonne variable, qu'elle est injective avec un argument d'orthogonalité et enfin qu'il y a égalité des dimensions entre l'espace de départ et l'espace d'arrivée. Nous avons sanctionné des arguments du type : en dimension finie, une application injective est bijective. »
Q8 : appliquer la formule du binôme alors qu'elle ne s'applique pas (zéro point)-3 pts
« Q8 - La formule du binôme, qui ne s'applique pas, est utilisée par une très grande majorité de candidats. Les correcteurs n'ont accordé aucun point à ceux qui l'utilisaient, que ce soit dans cette question ou dans les suivantes. Rappelons qu'il est toujours préférable de faire confiance à l'énoncé plutôt qu'à soi-même, surtout lorsqu'on trouve un résultat qui simplifie tout. »
Q9 : affirmer que la somme d'endomorphismes nilpotents est nilpotente-2 pts
« Q9 - Il faut ici préciser que V est un sous-espace vectoriel. Dans de nombreuses copies, il est dit que la somme d'endomorphismes nilpotents est nilpotente, ce qui est faux en général. »
Démonstrations « évidentes » laissées au lecteur, références aux questions implicites-2 pts
« Les démonstrations, qualifiées d'évidentes, sont laissées au lecteur ; il n'est pas explicitement fait référence aux questions utilisées ; les quantificateurs sont utilisés de façon inadéquate ; les résultats et points importants sont rarement soulignés ou encadrés ; les copies sont trop souvent sales et pleines de ratures. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2020 · PDF officiel ↗
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