Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet de difficulté progressive. Q1-Q10 largement abordables avec rigueur et clarté ; suivantes demandent davantage d'engagement (Q11, Q12, Q15, Q20, Q21). Une majorité a concentré sa composition sur Q1-Q10, Q13, Q16, Q17 ; moindre mesure Q14, Q18, Q19. Problèmes de quantification, objets non définis. La compréhension de la condition (C4) a échappé à certains. Notion de polynôme mal maîtrisée (X^(-1), X̄, Exp(X) dans R[X]).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q10 — Conditions (C1) à (C3) et exemples(Q1-Q10)Niveau attendu
Q1 relation d'équivalence (3 items, vérifier tQ et PQ orthogonales). Q2 « le polynôme P tel que P(A)=A » n'est pas une définition ; théorème spectral = orthogonalement semblable à diagonale. Q3 justification tAA=I_n. Q4 (C1) pour T∈SO_2 ; T pas antisymétrique si cosθ≠0. Q5 commutation A et P(A) à…
- Partie II — Q11-Q15 — Démonstration de (C4) et stabilité(Q11-Q15)Difficile
Q11 traduction matricielle de la stabilité d'un sev. Q12 récurrence sur n≥1 (pas n≥2 ou n≥3) ; pas « par itération ». Q13 unicité OK, existence éludée ; caractère réel rare. Q14 P(A) ≠ matrice (P(a_{i,j})) ; cas sin θ=0 ; division euclidienne précise ; Cayley-Hamilton bien utilisé. Q15 ensemble Z…
- Partie III — Q16-Q22 — Exponentielle de matrice(Q16-Q22)Très difficile
Q16 majorer la valeur absolue ; série usuelle convergente (somme = exp). Q17 majorer |(AB)_{i,j}| indépendamment de i,j puis borne sup. Q18 convergence normale des séries vectorielles HORS-PROGRAMME PSI — passer par les suites coordonnées. Q19 image réciproque du singleton {0} pas réelle =…
Analyse globale du jury
« Ce problème s'intéresse à l'ensemble E_n des matrices normales de M_n(R). Le sujet, de difficulté progressive, requiert de solides connaissances d'algèbre linéaire et bilinéaire, de l'aisance dans l'usage des polynômes, des notions sur les séries numériques et une bonne maîtrise des espaces vectoriels normés de dimension finie. Dans un nombre non négligeable de copies, on rencontre des problèmes de quantification et les objets mathématiques utilisés ne sont parfois pas définis. La compréhension même du sujet a échappé à certains candidats (notamment la condition C4). La rédaction manque ainsi souvent de soin et de cohérence. Pour rendre le discours crédible, il convient de soigner la graphie et de s'exprimer dans un français syntaxiquement correct et bien orthographié. Pour obtenir une… »
Top pièges sanctionnés
Q1 : oublier un item (réflexivité, symétrie ou transitivité) de la définition d'une relation d'équivalence-2 pts
« Q1. La définition d'une relation d'équivalence est trop souvent méconnue et fait pourtant partie du programme de première année. Il manque ainsi fréquemment un à deux des trois items de la définition. »
Q7 : déduire b=c de b²=c²-2 pts
« Deux erreurs très dommageables ont été observées de nombreuses fois : la condition b² = c² n'implique pas b = c ; pour a ≠ 0, la matrice (a -b ; b a) n'est pas antisymétrique. »
Q14 : croire P(A) = (P(a_{i,j}))-2 pts
« Q14. Attention, P(A) n'est pas la matrice de coefficient général P(a_{i,j}). Beaucoup de candidats n'utilisent pas l'indication et tombent dans cet écueil. »
Q16 : utiliser d'Alembert sur des termes pouvant s'annuler ; parler de série de fonctions ou rayon de convergence-2 pts
« Q16. L'utilisation de la règle de d'Alembert sur des termes généraux pouvant s'annuler est sanctionnée. Nul besoin ici de parler de série de fonctions (notamment de série entière, de rayon de convergence) et donc de convergence normale. Il s'agit de simples séries numériques, dont la convergence absolue s'obtient par un simple théorème de comparaison. »
Q18 : invoquer la convergence normale des séries vectorielles (hors-programme PSI)-2 pts
« Q18. La convergence normale des séries vectorielles n'étant pas au programme de PSI, il est indiqué ici de passer par la convergence des suites coordonnées de la suite matricielle ((S_p(A)) dans la base canonique de M_n et non par la « convergence des termes de la suite (S_p(A)) », ce qui ne veut rien dire. »
Q20 : considérer Exp comme un polynôme-2 pts
« Q20. L'utilisation des sommes partielles et la référence à Q16 sont, la plupart du temps, absentes. Exp n'est pas un polynôme ! »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2020 · PDF officiel ↗
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