Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet plutôt long avec questions demandant une grande autonomie (Q6, fin de partie IV). Les trois premières parties sont totalement indépendantes ; la dernière utilise les résultats de la première. Beaucoup de candidats ont abordé un grand nombre de questions dans les trois premières parties et les deux premières de la quatrième. La partie II a mis en évidence une compréhension très superficielle de l'algèbre linéaire (multiples erreurs graves sur les bases extraites, supplémentaires).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Matrices semi-simples et réduction réelle(Q1-Q6)Difficile
Caractérisation des matrices réelles semi-simples (= diagonalisables sur C) en termes de réduction au sens réel sous une forme diagonale par blocs. Q1 polynôme caractéristique non à racines simples, dimension du sous-espace propre associé à 2. Q2-Q3 réduction sur R, pas C — beaucoup tombent dans…
- Partie II — Partie II — Caractérisation de la diagonalisabilité (supplémentaires stables)(Q?-Q?)Très difficile
Diagonalisabilité d'un endomorphisme caractérisée par : tout sous-espace stable possède un supplémentaire stable. La partie a mis en évidence une compréhension très superficielle de l'algèbre linéaire. Erreurs graves : croire qu'une base finie B contient toujours une base d'un sous-espace F (faux…
- Partie III — Partie III — Polynômes de Hurwitz(Q?-Q?)Niveau attendu
Caractérisation par le signe des coefficients et le signe des coefficients d'un deuxième polynôme formé à partir des sommes 2 à 2 des racines. Q15 fondamentalement très élémentaire (1ère année) — réussie dans un nombre infime de copies (incapables d'écrire la formule du produit de 2 polynômes…
- Partie IV — Partie IV — Analyse asymptotique du système différentiel(Q?-Q?)Difficile
CNS pour limite 0 en +∞ : toutes les valeurs propres de partie réelle strictement négative. Beaucoup ont abordé les deux premières questions de la partie. Fin de la partie demandant une grande autonomie, peu abordée.
Analyse globale du jury
« Le sujet était plutôt long et présentait plusieurs questions demandant une grande autonomie. La partie II a malheureusement mis en évidence une compréhension très superficielle de l'algèbre linéaire, la plupart des candidats multipliant les erreurs graves. Le Concours Commun Mines-Ponts sélectionne de futurs ingénieurs, et la maîtrise et la précision du langage sont des qualités essentielles attendues. Le jury constate qu'une grande difficulté est observée à mettre en place un raisonnement structuré dès qu'on sort des questions bien répétées. Question 4 a mis en évidence des lacunes logiques criantes (tenter de démontrer une équivalence absurde entre deux hypothèses incompatibles). »
Top pièges sanctionnés
Croire qu'une base finie B contient toujours une base d'un sous-espace F-3 pts
« Étant donné une base finie B d'un espace vectoriel E et un sous-espace vectoriel F de E, il n'existe en général aucune base de F extraite de B !! En effet, si a contrario ce principe (faux) était vérifié, alors E ne pourrait posséder qu'une quantité finie de sous-espaces vectoriels, ce qui est grossièrement faux dès que la dimension de E est au moins égale à 2 ! »
Parler « du » supplémentaire d'un sous-espace (sauf cas trivial, plusieurs existent)-1 pts
« Le jury ne peut être qu'agacé lorsque les candidats parlent « du » supplémentaire d'un sous-espace vectoriel, puisque sauf cas trivial plusieurs supplémentaires existent pour un sous-espace vectoriel donné. Il serait aussi profitable que les candidats cessent de croire qu'un nombre complexe ne puisse pas être réel ! Les nombres réels sont des nombres complexes. »
Q4 : tenter de démontrer une équivalence absurde entre deux hypothèses incompatibles-2 pts
« La question 4 a mis en évidence des lacunes logiques criantes chez bon nombre de candidats, qui tentent vainement de montrer l'équivalence entre semi-simplicité et l'hypothèse (i), puis l'équivalence entre semi-simplicité et l'hypothèse (ii). Il était absurde de tenter de démontrer cela, d'autant plus qu'il était normalement évident que (i) et (ii) ne sont pas équivalentes (et même incompatibles !) : tout cela démontre un manque inquiétant de bon sens logique. »
Réduction sur R confondue avec réduction sur C (Q2, Q3, Q6)-2 pts
« Une des subtilités du sujet résidait dans le fait que, pour les questions 2, 3 et 6, la réduction dusse se faire sur le corps des réels et non des complexes. De nombreux candidats sont tombés dans cet écueil. »
Q15 : incapable d'écrire le produit de 2 polynômes (coefficients non définis)-2 pts
« La question 15, qui était fondamentalement très élémentaire (question de niveau première année), n'a été réussie que dans un nombre infime de copies, la plupart des candidats se révélant incapables d'écrire une formule correcte pour les coefficients du produit de deux polynômes lorsque tous les coefficients n'ont pas été définis ! »
Question « montrer que si A alors B » : l'énoncé ne tient pas A pour acquis-1 pts
« Lorsqu'une question est formulée « montrer que si A alors B » l'énoncé ne tient nullement A pour acquis (ou supposé) et il appartient au candidat de faire lui-même l'hypothèse explicite (« On suppose A »). »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
